Chiarimenti su Anelli e proprietà distributiva

[fallendaydreamer]

Ciao!
Innanzitutto non mi è chiara una cosa. Le operazioni coinvolte negli anelli sono esclusivamente la somma e il prodotto, oppure possono essere altri tipi di operazioni, magari operazioni che a loro volta devono coinvolgere necessariamente le operazioni di somma e prodotto?
Mi spiego meglio:
Avendo un anello del tipo [tex](A, +, *)[/tex], posso avere l'operazione [tex]*[/tex] tale che $∀ n, m \in\ A, n"*"m=nm/3$ ?
In questo caso l'operazione [tex]*[/tex] non è un semplice prodotto ma moltiplica due elementi e divide il prodotto per 3.
Allo stesso modo l'operazione + può essere diversa rispetto alla semplice somma?

L'altro mio dubbio è sulla proprietà distributiva.
Sappiamo che [tex]*[/tex] dev'essere distributiva rispetto a [tex]+[/tex].
Questa proprietà io la definirei in questo modo, e utilizzerei queste due condizioni per dimostrare la distributività negli esercizi:
1) [tex]a*(b+c)=a*b+a*c[/tex]
2) [tex](b+c)*a=b*a+c*a[/tex]
Invece nella definizione della spiegazione a lezione, ma anche in quella che si può leggere qui, troviamo:
1) [tex]a*(b + c) = (a*b) + (a*c)[/tex]
2) [tex](a + b)*c = (a*c) + (b*c)[/tex]
cosa cambia fra queste due? A me viene spontaneo dimostrare utilizzando le due condizioni che ho scritto io, ma non vorrei sbagliarmi e dover invece utilizzare quelle della spiegazione, che però non riesco a capire...

[Gatto891]

Le due operazioni possono essere quelle che preferisci te, basta che facciano di $(A, +)$ un gruppo abeliano e di $(A, *)$ un semigruppo e che valgano le distributive.

Il tuo secondo dubbio potrebbe essere legato al fatto che non usi i quantificatori... per quali $a, b, c$ devono valere quelle leggi? Una volta che lo scrivi, ti rendi conto che sono definizioni equivalenti (le parentesi, invece, servono a indicare l'ordine in cui applichi le varie operazioni, non è scontato che $*$ abbia priorità maggiore di $+$...

[fallendaydreamer]

Valgono per ogni a,b,c presi in considerazione, ma ugualmente non riesco a capire le due condizioni della seconda definizione... perchè non c'è, ad esempio, un (a+c)*b ?

[angus89]

Allora:
La somma e il prodotto non sono le usuali operazioni che conosci, ovvero la somma su anelli come numeri interi o reali.
Ad esempio se prendi l'anello delle matrici quadrate il prodotto lo puoi definire come prodotto riga per colonna mentre la somma come l'usuale somma tra matrici. Nota bene che questo anello ha degli zerodivisori (non è integro).

Poi per l'ultima domanda è del tutto equivalente usare lettere diverse, devi imparare ad usare i quantificatori.

[fallendaydreamer]

Ma non mi sembra si tratti semplicemente di lettere diverse, si tratta proprio di definire la proprietà distributiva in modi diversi...
nel primo caso ci sono le due condizioni della distributività a destra e a sinistra che io riesco a comprendere e mi viene spontaneo scrivere, ossia che
$∀ a, b, c ∈ A$ valgono
1a) $a*(b+c)=a*b+a*c$
2a) $(b+c)*a=b*a+c*a$
Nel secondo caso la proprietà distributiva la esplica diversamente, con queste due condizioni, cioè che
$∀ a, b, c ∈ A$ valgono
1b) equivalente a 1a)
e 2b) $(a+b)*c=a*c+b*c$

Boh non mi ritrovo. Se utilizzo le condizioni 1a) e 2a), che non sono quelle della lezione, sbaglio? Mi risulterebbero molto più semplici, nel secondo caso invece le dovrei imparare a memoria perchè non capisco come si fa a passare dal fattore $a$ al fattore $c$, cosa c'entra con la definizione "standard" della proprietà distributiva...