Chi sono \(\Bbb{N}_n \) e \( \Bbb{Z}_n\), e \(\Bbb{N}_n+1 \) e \( \Bbb{Z}_n+1\), con \( n \in \Bbb{N}\)?

[garnak.olegovitc1]

in un testo leggo di questi due insiemi, in verità leggo solo i simboli

\(\Bbb{N}_n \) e \( \Bbb{Z}_n\), con \( n \in \Bbb{N}\)

dal contesto non capisco chi sono in modo specifico, qualcuno gentilmente sa darmi una chiara e precisa definizione/delucidazione di /su questi due insiemi? Ringrazio a priori!

[vict85]

In genere \(\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Per quanto riguarda \(\mathbb{N}_n\) non l'ho mai visto. Dove li hai visti?

[garnak.olegovitc1]

@vict85, grazie intanto per la risposta, i simboli li ho visti nel testo "Analisi Matematica Vol I - C. Di Bari, P. Vetro".. ti volevo chiedere, da ignorante che sono, il significato del simbolo \(\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

[Epimenide93]

Quanto ad \(\mathbb{N}_n\), credo di averlo visto usare per indicare l'insieme \(\{0,1, \ldots,n-1\} \subset \mathbb{N}\) oppure per indicare \(\{1,2, \ldots ,n\}\), non ricordo, in ogni caso è una notazione tutt'altro che standard, mi sembra strano che l'autore la usi senza prima introdurla.

[garnak.olegovitc1]

@Epimenide93, ciao grazie per la risposta, io di solito uso sempre \( \text{I}_n = \{0,1, \ldots,n-1\}\) e l'autore del testo fa lo stesso; metto due esercizi sperando che possano essere utile nel capire chi sono questi due insiemi:

"sia dato \(\Bbb{Z}_4\) munito delle operazioni \( +\), \(\tau\) e della relazione di ordine \( \leq\), ove \( +\) è l'addizione fra interi, \( \tau\) l'operazione che agli elementi \(n,m \in \Bbb{Z}_4\) associa l'elemento \( \frac{nm}{4} \in \Bbb{Z}_4\) e \( \leq\) l'ordine fra interi. Si verifichi che la funzione \( \psi: \Bbb{Z} \to \Bbb{Z}_4\), definita \( \psi(n)=4n\), è un isomorfismo ordinato di \( \Bbb{Z}\) su \( \Bbb{Z}_4\)"

"siano dati \( \Bbb{N}_3\) e \( \psi: \Bbb{N} \to \Bbb{N}_3\), definita da \( \psi(n)=3n\). Si definisca in \(\Bbb{N}_3\) un'operazione \(\tau\) in modo che \( \psi\) sia un isomorfismo ordinato di \((\Bbb{N}, +,\cdot, \leq)\) su \( (\Bbb{N}_3,+, \tau, \leq)\)"

da profano mi viene da dire|pensare, e spero di non spararla grossa, che \( \Bbb{N}_3 \subseteq \Bbb{N}\) e \( \Bbb{Z}_4 \subseteq \Bbb{Z}\) ma nello specifico non so come sono fatti...

[garnak.olegovitc1]

mmm rileggendo gli esercizi mi viene da dire, e ne sono sempre più convinto, che $$\Bbb{N}_n=\{x |x \in \Bbb{N} \wedge \exists m \in \Bbb{N}(x=n \cdot m)\} \; , \; \Bbb{Z}_n=\{x |x \in \Bbb{Z} \wedge \exists m \in \Bbb{Z}(x=n \cdot m)\}$$ confermate?

@vict, se la mia intuizione è corretta allora \( \Bbb{Z}_n\), come sopra ho definito, non ha un legame con \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?

[vict85]

Ok, quella è una notazione decisamente non standard. Devo supporre che \(\displaystyle \mathbb{Z}_n = n\mathbb{Z} = \{ x\in \mathbb{Z} : \exists k\in \mathbb{Z}, x = nk \} \) dove il secondo è la notazione standard per gli algebristi. Insomma l'insieme degli multipli di \(\displaystyle n \). Immagino che sia definita da qualche parte.

Al contrario, io chiamo \(\displaystyle \mathbb{Z}_n \) l'insieme \(\displaystyle \mathbb{Z}/\!\sim \) rispetto alla relazione di equivalenza \(\displaystyle a\sim b \) se e solo se \(\displaystyle a - b = nk \) per qualche \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \). Insomma la classe di resto modulo \(\displaystyle n \). La scrittura \(\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) deriva dalla teoria dei gruppi/anelli/campi.

[garnak.olegovitc1]

@vict85, ok così almeno so chi sono \(\Bbb{N}_n \) e \( \Bbb{Z}_n\) (non standard ) thanks; in qualche esercizio più avanti trovo[nota]roba sempre strana[/nota] \(\Bbb{N}_n + 1\) e \( \Bbb{Z}_n +1 \) deduco siano rispettivamente $$\{x | x \in \Bbb{N} \wedge \exists m \in \Bbb{N}_n(x=m+1)\} \; , \; \{x | x \in \Bbb{Z} \wedge \exists m \in \Bbb{Z}_n(x=m+1)\}$$ concordi, e per il resto non ho altro da aggiungere, anche qui per quanto non standard possano essere le notazioni?

[Epimenide93]

A occhio direi che non può significare nient'altro.