Cerco teorema sui primi
Ciao a tutti volevo porre una domanda a voi che siete esperti.
esiste un teorema che affermi che dato un numero primo Pn e il suo precedente Pn-1 come ad esempio 37 e 31 il numero primo successivo a Pn ovvero Pn+1 (nell' esempio sarebbe 39) è sempre inferiore a Pn + Pn-1?
Cioè in pratica voglio sapere se
Pn-1 + Pn è un numero pari sempre maggiore di Pn+1
nell' esempio
31 + 37 = 68 che è maggiore di 39
ps:. spero di essermi spiegato bene non sono tanto forte come matematico e i termini che uso forse sono un po' grossolani.
esiste un teorema che affermi che dato un numero primo Pn e il suo precedente Pn-1 come ad esempio 37 e 31 il numero primo successivo a Pn ovvero Pn+1 (nell' esempio sarebbe 39) è sempre inferiore a Pn + Pn-1?
Cioè in pratica voglio sapere se
Pn-1 + Pn è un numero pari sempre maggiore di Pn+1
nell' esempio
31 + 37 = 68 che è maggiore di 39
ps:. spero di essermi spiegato bene non sono tanto forte come matematico e i termini che uso forse sono un po' grossolani.
Risposte
39 non è primo...
Vedi [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand's_postulate#Better_results]qui[/url], prima riga. Si dice che
[tex]P_{n-1}+P_n > \frac{2}{3} P_n + \frac{2}{3} P_{n+1} > \frac{4}{9} P_{n+1} + \frac{2}{3} P_{n+1} = \frac{10}{9} P_{n+1} > P_{n+1}[/tex].
Per cui quello che dici è vero per [tex]n[/tex] abbastanza grande, ed è ragionevole che lo sia anche per [tex]n[/tex] piccolo (uno deve andarsi a trovare l'[tex]n_0[/tex] corrispondente a [tex]k=3/2[/tex] e controllare tutti i primi minori o uguali a [tex]n_0[/tex]).
"Wikipedia":Applica questo risultato a [tex]k=3/2[/tex]. Ottieni che se [tex]n[/tex] è abbastanza grande allora [tex]P_{n} < \frac{3}{2} P_{n-1}[/tex] e quindi
for any real [tex]k > 1[/tex], there exists an [tex]n_0[/tex] such that there is always a prime between [tex]n[/tex] and [tex]kn[/tex] for all [tex]n > n_0[/tex].
[tex]P_{n-1}+P_n > \frac{2}{3} P_n + \frac{2}{3} P_{n+1} > \frac{4}{9} P_{n+1} + \frac{2}{3} P_{n+1} = \frac{10}{9} P_{n+1} > P_{n+1}[/tex].
Per cui quello che dici è vero per [tex]n[/tex] abbastanza grande, ed è ragionevole che lo sia anche per [tex]n[/tex] piccolo (uno deve andarsi a trovare l'[tex]n_0[/tex] corrispondente a [tex]k=3/2[/tex] e controllare tutti i primi minori o uguali a [tex]n_0[/tex]).
per rggb:
ops che gaf da imbecille che ho fatto sostituisci 39 con 41 per piacere
per martino: ho provato a guardare il link che mi hai fornito e come prevedevo non ci ho capito niente ad ogni modo la tua dimostrazione l'ho capita, semplice e ben fatta. Quello che non capisco è quel "ragionevole", se l'affermazione riportata su wiki è vera ovvero se è un teorema, dovrebbe esserlo sempre no? o comunque dovrebbe esserlo da un certo primo ben definito in poi altrimenti è una congettura, che ne dici?
Grazie comunque per la risposta
ops che gaf da imbecille che ho fatto sostituisci 39 con 41 per piacereper martino: ho provato a guardare il link che mi hai fornito e come prevedevo non ci ho capito niente ad ogni modo la tua dimostrazione l'ho capita, semplice e ben fatta. Quello che non capisco è quel "ragionevole", se l'affermazione riportata su wiki è vera ovvero se è un teorema, dovrebbe esserlo sempre no? o comunque dovrebbe esserlo da un certo primo ben definito in poi altrimenti è una congettura, che ne dici?
Grazie comunque per la risposta
"mimmux":Se quella frase di wiki che ho riportato è vera (meglio sempre essere cauti
Quello che non capisco è quel "ragionevole", se l'affermazione riportata su wiki è vera ovvero se è un teorema, dovrebbe esserlo sempre no? o comunque dovrebbe esserlo da un certo primo ben definito in poi altrimenti è una congettura, che ne dici?
) allora il mio argomento ti dimostra che da un certo [tex]n[/tex] in poi si ha [tex]P_{n-1}+P_n > P_{n+1}[/tex].Ora come ti dicevo rimangono da controllare i primi "piccoli", cosa che non ho fatto, ma immagino che il risultato sia vero anche per quelli. Questo è quello che ho chiamato "ragionevole", e non c'entra col risultato di wikipedia, quello ho già smesso di usarlo.
mi rispondo da solo, soffermandomi un attimo sul link che mi ha dato martino ho letto questo
Non-asymptotic bounds have been also been proved. In 1952, Jitsuro Nagura proved that for n > 25, there is always a prime between n and (1 + 1 / 5)n
quindi applicando la dimostrazione di martino basta sostiutire k=3/2 = 1,5 con k=(1 + 1/5) = 6/5 = 1,2 e il teorema vale per tutti gli n > 25 quindi per tutti i primi >= 29 mentre per quelli che vengono prima di 29 è facilmente dimostrabile con una tabella:
2+3 = 5 (coincidente)
3+5 = 8 > 7
5+7 = 12 > 11
7+11 = 18 > 13
11+13 = 24 > 17
13+17 = 30 > 19
19+23 = 42 > 29
23+29 = 52 > 31
Non-asymptotic bounds have been also been proved. In 1952, Jitsuro Nagura proved that for n > 25, there is always a prime between n and (1 + 1 / 5)n
quindi applicando la dimostrazione di martino basta sostiutire k=3/2 = 1,5 con k=(1 + 1/5) = 6/5 = 1,2 e il teorema vale per tutti gli n > 25 quindi per tutti i primi >= 29 mentre per quelli che vengono prima di 29 è facilmente dimostrabile con una tabella:
2+3 = 5 (coincidente)
3+5 = 8 > 7
5+7 = 12 > 11
7+11 = 18 > 13
11+13 = 24 > 17
13+17 = 30 > 19
19+23 = 42 > 29
23+29 = 52 > 31
grazie martino
Sì concordo.
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