Cercasi esercizi equazioni congruenziali
Salve, come da oggetto, cerco esercizi del tipo:
$299x \equiv 52 (247)$
Grazie
$299x \equiv 52 (247)$
Grazie
Risposte
Nessuno? Intanto mi dite se almeno li svolgo correttamente? Ecco un esercizio che ho fatto:
$12x \equiv 21(81)$
a = 12
b = 21
m = 81
d = MCD(12,81)
81 = 12 * 6 + 9
12 = 9 * 1 + 3
9 = 3 * 3 + 0
MCD(12,81) = 3
d = au + mv
3 = 12 - 9
= 12 - (81 - 12 * 6)
= 12 - 81 + 12 * 6
= 12 * 1 - 81 + 12 * 6
= 12 * 7 + 81 * (-1)
u = 7; v = -1
$x_0 = \frac{b}{d} \cdot u$
$x_0 = \frac{21}{3} \cdot 7 = 7 \cdot 7 = 49$
49 è una delle 3 soluzioni possibili, pertanto si scrive $[49]_{81} \subseteq S$
Le altre due soluzioni sono date dalla formula
$x_k = x_0 + k \cdot frac{m}{d}$ con $0 \le k \le d-2$
e sono [76] e [103].
Ho fatto bene?
$12x \equiv 21(81)$
a = 12
b = 21
m = 81
d = MCD(12,81)
81 = 12 * 6 + 9
12 = 9 * 1 + 3
9 = 3 * 3 + 0
MCD(12,81) = 3
d = au + mv
3 = 12 - 9
= 12 - (81 - 12 * 6)
= 12 - 81 + 12 * 6
= 12 * 1 - 81 + 12 * 6
= 12 * 7 + 81 * (-1)
u = 7; v = -1
$x_0 = \frac{b}{d} \cdot u$
$x_0 = \frac{21}{3} \cdot 7 = 7 \cdot 7 = 49$
49 è una delle 3 soluzioni possibili, pertanto si scrive $[49]_{81} \subseteq S$
Le altre due soluzioni sono date dalla formula
$x_k = x_0 + k \cdot frac{m}{d}$ con $0 \le k \le d-2$
e sono [76] e [103].
Ho fatto bene?
Si, però le soluzioni non dovrebbero essere più di 3?
Guarda io l'esercizio lo risolvo in questo modo, poi dimmi se ti ci ritrovi.
$12x-=21_(mod 81)$ ha soluzione se e solo se $d=(12,81)=1$ cioè sono coprimi.
Dato che $d=(12,81)=3$ possiamo dividere ogni termine dell'equazione per $3$, quindi abbiamo $4x-=7_(mod 27)$
dove questa volta $d=(4,27)=1$.
Di $4x-=7_(mod 27)$ calcolo l'inverso moltiplicativo al fine di semplificarlo che significa risolvere la seguente
equazione:
$4x-=1_(mod 27)$ cioè $27|4x-1 => EEy in ZZ$ tale che $4x-1=27y$ e $4x-27y=1$ che ha soluzione per $x=7$ e $y=1$,
infatti $28-27=1$. Quindi $4x-=7_(mod 27)$ diventa $x-=49_(mod 27)-=22_(mod 27)$; questo implica che
$27|x-22 => EEk in ZZ$ tale che $x-22=27k$ e $x=22+27k$ che sono le (credo)infinite soluzione all'equazione congruenziale.
Ad esempio per $k=0$, $x=22$ e $81/12*22-21=3$
Per $k=1$, $x=49$ e $81|12*49-21=7$
Per $k=2$, $x=76$ e $81|12*76-21=11$
e così via (salvo smentite
)
Guarda io l'esercizio lo risolvo in questo modo, poi dimmi se ti ci ritrovi.
$12x-=21_(mod 81)$ ha soluzione se e solo se $d=(12,81)=1$ cioè sono coprimi.
Dato che $d=(12,81)=3$ possiamo dividere ogni termine dell'equazione per $3$, quindi abbiamo $4x-=7_(mod 27)$
dove questa volta $d=(4,27)=1$.
Di $4x-=7_(mod 27)$ calcolo l'inverso moltiplicativo al fine di semplificarlo che significa risolvere la seguente
equazione:
$4x-=1_(mod 27)$ cioè $27|4x-1 => EEy in ZZ$ tale che $4x-1=27y$ e $4x-27y=1$ che ha soluzione per $x=7$ e $y=1$,
infatti $28-27=1$. Quindi $4x-=7_(mod 27)$ diventa $x-=49_(mod 27)-=22_(mod 27)$; questo implica che
$27|x-22 => EEk in ZZ$ tale che $x-22=27k$ e $x=22+27k$ che sono le (credo)infinite soluzione all'equazione congruenziale.
Ad esempio per $k=0$, $x=22$ e $81/12*22-21=3$
Per $k=1$, $x=49$ e $81|12*49-21=7$
Per $k=2$, $x=76$ e $81|12*76-21=11$
e così via (salvo smentite
)
"GundamRX91":
Ad esempio per $k=0$, $x=22$ e $81/12*22-21=3$
Per $k=1$, $x=49$ e $81|12*49-21=7$
Per $k=2$, $x=76$ e $81|12*76-21=11$
Non ho capito cosa fai nel primo rigo e poi ad esempio come ottieni 76?
Intanto scusami perchè la formula è stata renderizzata male:
$k=0, x=22+27*k=22+0=22$, da $12x-=21_(mod 81)$ hai che $12*22-=21_(mod 81)$ e sai che $81|(12*22-21)$ cioè $264-21=81h$ per $h in ZZ$ da cui $243=81h$ e $h=243/81=3$.
E' chiaro ora?
$k=0, x=22+27*k=22+0=22$, da $12x-=21_(mod 81)$ hai che $12*22-=21_(mod 81)$ e sai che $81|(12*22-21)$ cioè $264-21=81h$ per $h in ZZ$ da cui $243=81h$ e $h=243/81=3$.
E' chiaro ora?
Si, ma è completamente distante dalla mia soluzione.
Ad esempio io per trovare quelli che io chiamo u e v devo effettuare delle scomposizioni...
Era proprio a proposito di questo che volevo chiedere delle delucidazioni, in pratica in altre esercizi non riesco ad arrivare a quelle due variabili, sai se c'è un procedimento preciso alla base? Io praticamente l'ho fatto a tentativi fin quando non ottengo la u che serve a me, ma in altri esercizi non ci sono riuscito. Ne sai qualcosa?
Ad esempio io per trovare quelli che io chiamo u e v devo effettuare delle scomposizioni...
Era proprio a proposito di questo che volevo chiedere delle delucidazioni, in pratica in altre esercizi non riesco ad arrivare a quelle due variabili, sai se c'è un procedimento preciso alla base? Io praticamente l'ho fatto a tentativi fin quando non ottengo la u che serve a me, ma in altri esercizi non ci sono riuscito. Ne sai qualcosa?
Forse il problema è che non ti è chiaro il concetto di relazione di congruenza e dei teoremi per le soluzioni delle equazioni congruenziali, oppure non so...
"GundamRX91":
Forse il problema è che non ti è chiaro il concetto di relazione di congruenza e dei teoremi per le soluzioni delle equazioni congruenziali, oppure non so...
Teorema cinese e/o di Bezout?
Anche questi, anche se forse sono sufficienti per risolvere esercizi di questo tipo; il punto è che arrivi alla soluzione non per tentativi ma applicando i vari teoremi/proposizioni e avendo ben chiara la relazione di congruenza.
Qui credo di aver risolto. Ho capito come ricavare la u e la v con Bezout (sono andato a rivedermi il teorema). Ora riesco a fare tutti gli esercizi come quello del mio esempio.
Grazie per il tuo aiuto.
Grazie per il tuo aiuto.
Prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo