Centro gruppo diedrale

[thedarkhero]

Si vuole dimostrare che il centro del gruppo diedrale di ordine $2n$, ovvero $Z(D_n)$ è $Z(D_n)=\{(1, if "n è dispari"),(, if "n è pari"):}$ dove $rho$ rappresenta la rotazione di angolo $2pi/n$.

Se $delta$ è una qualsiasi delle $n$ riflessioni di $D_n$, allora $delta*rho*delta=rho^(-1)$ ovvero $delta*rho=rho^(-1)*delta$.
Essendo in generale $rho^(-1)!=rho$ (tranne che nel caso $n=2$) si ha $delta*rho=rho^(-1)*delta!=rho*delta$ dunque $delta\notinZ(D_n)$.
Siccome gli elementi di $D_n$ sono tutti e soli i ${rho^t*delta^s|0<=t$.
Perchè da qui posso dedurre che esiste $a$ divisore di $n$ tale che $Z(D_n)=$?

[hyoukarou]

Da dove stai leggendo quest'esercizio?

Comunque perché come hai fatto vedere \(Z(D_n)\) è sottogruppo di \(<\rho>\) e vale il teorema di Lagrange(e banalmente il sottogruppo di un gruppo ciclico è anch'esso ciclico).

[thedarkhero]

L'esercizio è tratto da degli appunti presi a lezione.

Io non ho fatto vedere che $Z(D_n)$ è sottogruppo di $$, ho fatto vedere che è sottoinsieme...

[hyoukarou]

Sottoinsieme + gruppo rispetto alla stessa operazione(sappiamo a priori che \(Z(D_n)\) è un gruppo) = sottogruppo.

[url=http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Subgroup]link![/url]

[thedarkhero]

Hai ragione! Essendo che il centro di un gruppo è sempre sottogruppo dello stesso gruppo rispetto alla stessa operazione quella deduzione è lecita. Grazie!
Riporto per completezza la conclusione della dimostrazione.

Siamo arrivati a dire che $Z(D_n)=$ per qualche $a$ che divide $n$.
Essendo $G=$ si ha che $rho^a\inZ(D_n)$ se e solo se $rho^a$ commuta con $rho$ (banale) e con $delta$.
$rho^a$ commuta con $delta$ se e solo se $rho^a*delta=delta*rho^a$ se e solo se $delta^-1*rho^a*delta=rho^a$ se e solo se $delta*rho^a*delta=rho^a$ se e solo se (usando il fatto che $delta*rho*delta=rho^-1$) $(rho^a)^-1=rho^a$ se e solo se $rho^(2a)=1$. Dunque $2a$ deve essere multiplo di $n$.
Se $n$ è dispari $n|2a$ se e solo se $n|a$ e dunque $rho^a=1$ e dunque $Z(D_n)=<1> =1$.
Se $n$ è pari allora $n|2a$ quindi $n/2|a$ e dunque $Z(D_n)=$.


Ora devo studiare i sottogruppi normali di $D_n$ ovvero mostrare che nel caso di $n$ dispari $N$ è sottogruppo normale di $D_n$ se e solo se $N$ è sottogruppo di $$, e fornire un controesempio nel caso pari. Mi daresti una dritta?

[hyoukarou]

Mi pare corretta, anche se tutti quei rho e delta mi confondono.

Sulla prima parte non saprei darti indizi che non ti diano automaticamente la risposta, posso consigliarti soltanto di dimostrare prima il se(ovvero che tutti i sottogruppi di \(<\rho>\) sono normali in \(D_n\)) e poi il soltanto se(ovvero che gli altri sottogruppi non sono normali, potresti cercare di dedurne un assurdo).

Per il controesempio, hai \(2n\) lati, dividi qualcosa a metà e troverai un sottogruppo normale non contenuto in \(<\rho>\)

[thedarkhero]

I sottogruppi di $$ sono i $$ per qualche $t$.
Dire che $$ è normale in $D_n$ significa che $g*rho^(at)=rho^(bt)*g$ $AAg\inD_n$.
Però non mi viene in mente come provare questa uguaglianza...

[hyoukarou]

Prova sfruttando il fatto che gli elementi del gruppo hanno una certa rappresentazione(sono rotazioni o riflessioni) e volendo potresti usare un'altra delle definizioni equivalenti di sottogruppo normale.

[thedarkhero]

Giusto!
Devo mostrare che $g*n*g^(-1)\in$ $AAg\inD_n$ $AAn\in$.
Se $g=rho^a$ allora $g*n*g^(-1)=rho^a*rho^(bt)*rho^(-a)=rho^(bt)\in$
Se $g=delta$ allora $g*n*g^(-1)=delta*rho^(bt)*delta^(-1)=delta*rho^(bt)*delta=rho^(-bt)\in$.
Dunque abbiamo mostrato che se $N$ è sottogruppo di $$ allora è normale in $D_n$.

Ora facciamo il "se", cioè supponiamo che $N$ sia sottogruppo normale di $D_n$ e verifichiamo che è sottogruppo di $$.
Se suppongo per assurdo che ci sia una riflessione $delta\inN$ allora deve valere $g*delta*g^(-1)\inN$ $AAg\inD_n$...ma qui come faccio saltare fuori l'assurdo?

[hyoukarou]

"thedarkhero":Ora facciamo il "se", cioè supponiamo che $N$ sia sottogruppo normale di $D_n$ e verifichiamo che è sottogruppo di $$.
Se suppongo per assurdo che ci sia una riflessione $delta\inN$ allora deve valere $g*delta*g^(-1)\inN$ $AAg\inD_n$...ma qui come faccio saltare fuori l'assurdo?

Colpa mia, lascia perdere l'assurdo.
Supponi ad esempio che \(N \triangleleft D_n\) e che \(\delta \rho^t \in N\), usando la normalità di \(N\)(\(xNx^{-1} \subseteq N\)) e il fatto che \(n\) è dispari mostri che tutte le riflessioni devono appartenere al sottogruppo e che quindi anche tutte le rotazioni apparterranno, concludendo che \(N = D_n\).

Se \(n\) è pari ciò non è necessariamente vero, e puoi trovare facilmente un controesempio.

[thedarkhero]

Non ne esco proprio...se suppongo che $rho^t*delta\inN$ ho che $g*rho^t*delta*g^(-1)\inN$ $AAg\inD_n$ ma in che modo il fatto che $n$ è dispari mi aiuta a provare che tutte le riflessioni stanno in $N$?

[hyoukarou]

Come prima, prova a porre \(g = \rho^h\)(una rotazione), svolgi i calcoli e ti viene qualcosa che appartiene ad \(N\), poi quel fatto potrebbe aiutarti a dedurre qualcosa e poi qualcos'altro. Prova a giocare un po' con le cose che hai a disposizione.

Edit.
Ti metto sotto spoiler la soluzione, prima di leggere ti consiglio di provarci da solo

Step 1.

Supponiamo che \(\delta \rho^t \in N\), per la normalità si ha che \((\forall h \in Z_n) . \rho^h (\delta \rho^t) \rho^{-h} = \delta \rho^{t-2h} \in N\).

Step 2.

\(n\) è dispari dunque \(2\) genera \(Z_n\), segue che tutte le riflessioni appartengono al sottogruppo.
Inoltre \((\delta \rho)(\delta \rho^{2}) = \rho \in N\) quindi anche le rotazioni appartengono al sottogruppo.
Segue che \(N = D_n\).

Step 3.

I controesempi nel caso \(n\) pari sono facili da intuire data la precedente dimostrazione. Se \(n\) è pari \(2\) genera solo i numeri pari modulo \(n\). Da qui prova a costruire gli altri due sottogruppi.

[thedarkhero]

Se $n$ è pari avrei che se $delta\inN$ allora tutte le riflessioni del tipo $rho^(2s)*delta$ formano un sottogruppo normale e tutte quelle del tipo $rho^(2s+1)*delta$ ne formano un'altro, in quanto $rho^t*rho^(2s)*delta*rho^-t=rho^(t+2s)*delta*rho^-t=delta*rho^-(t+2s)*rho^-t=delta*rho^(-2(t+s))=rho^(2(t+s))*delta$, e analogamente l'altro caso. Giusto?

[hyoukarou]

"thedarkhero":Se $n$ è pari avrei che se $delta\inN$ allora tutte le riflessioni del tipo $rho^(2s)*delta$ formano un sottogruppo normale

Manca qualcosa: questo sottoinsieme non è un gruppo, non è chiuso(ricorda che il prodotto di due riflessioni è una rotazione). Dopo dovresti dimostrare che quelli che hai sono realmente sottogruppi normali e volendo potresti darne una presentazione.
Ma dovevi farlo tu l'esercizio, non io

[thedarkhero]

I $rho^(2s)*delta^(k)$ con $s\inNN$ e $k\in{0,1}$, dovrei esserci
La dimostrazione della normalità delle riflessioni che ho messo in questo sottogruppo l'ho fatta nel post precedente, la dimostrazione della normalità delle rotazioni che ho messo in questo gruppo segue dal fatto che $$ è normale in $D_n$ e dunque lo è anche il suo sottogruppo $$, può andare?

[hyoukarou]

"thedarkhero":I $rho^(2s)*delta^(k)$ con $s\inNN$ e $k\in{0,1}$, dovrei esserci

Ok, questo volendo potrebbe essere scritto come \(<\delta, \rho^2>\)

"thedarkhero":
La dimostrazione della normalità delle riflessioni che ho messo in questo sottogruppo l'ho fatta nel post precedente

Quasi, hai scritto che \((\rho^t) \cdot (\delta \rho^{2s}) \cdot (\rho^t)^{-1} \in N\), dovresti fare anche \((\delta \rho^t) \cdot (\delta \rho^{2s}) \cdot (\delta \rho^t)^{-1} \in N\).

"thedarkhero":
la dimostrazione della normalità delle rotazioni che ho messo in questo gruppo segue dal fatto che $$ è normale in $D_n$ e dunque lo è anche il suo sottogruppo $$, può andare?

\(H = <\rho^2>\) è normale, quindi \((\forall x \in D_n).xHx^{-1} \subseteq H \subset N\) e ci siamo.

Ok, abbiamo finito, per \(n\) pari i sottogruppi normali non banali di \(D_n\) sono tutti i sottogruppi di \(<\rho>\) più \(<\delta, \rho^2>\) e \(<\delta \rho, \rho^2>\)

[thedarkhero]

"hyoukarou":

Quasi, hai scritto che \((\rho^t) \cdot (\delta \rho^{2s}) \cdot (\rho^t)^{-1} \in N\), dovresti fare anche \((\delta \rho^t) \cdot (\delta \rho^{2s}) \cdot (\delta \rho^t)^{-1} \in N\).

$(delta*rho^t)*(delta*rho^(2s))*(delta*rho^t)^(-1)=(delta*rho^t)*(delta*rho^(2s))*rho^-t*delta=rho^-t*rho^(2s)*rho^-t*delta=rho^(2(s-t))*delta$