Centro di un gruppo diedrale D_14
Salve a tutti
Dovrei trovare il centro di un gruppo diedrale $D_14$.
Ho così argomentato: essendo il gruppo diedrale idetificato da combinazioni di rotazioni e rilessioni, per cui valgono le seguenti relazioni $r^n =1$ e $\phi^2 =1$ segue che $r\phi = r^(13)\phi$ quind il gruppo diedrale non (dovrebbe) è abeliano.
Pertanto secondo me il centro di $D_14$ è dato dall'identità ${id}$.
Ma ho grossi dubbi.
Dovrei trovare il centro di un gruppo diedrale $D_14$.
Ho così argomentato: essendo il gruppo diedrale idetificato da combinazioni di rotazioni e rilessioni, per cui valgono le seguenti relazioni $r^n =1$ e $\phi^2 =1$ segue che $r\phi = r^(13)\phi$ quind il gruppo diedrale non (dovrebbe) è abeliano.
Pertanto secondo me il centro di $D_14$ è dato dall'identità ${id}$.
Ma ho grossi dubbi.
Risposte
il centro di $D_14$ è dato dall'identità ${id}$.
Da cosa l'hai dedotto?
Hai considerato le combinazioni degli elementi di $D_14$ ?
Ci sono due modi distinti per indicare il gruppo diedrale, c'è chi lo indica con $D_n$ e chi con $D_2n$.
Se tu intendi $D_14$ inteso come gruppo delle isometrie di un poligono di 14 lati, allora essendo 14 pari avremmo che $Z(D_14)={id, r^14}$
Se invece intendi $D_14$ come gruppo delle isometrie di un poligono di 7 lati, allora essendo 7 dispari avremmo che $Z(D_14)={id}$
Se tu intendi $D_14$ inteso come gruppo delle isometrie di un poligono di 14 lati, allora essendo 14 pari avremmo che $Z(D_14)={id, r^14}$
Se invece intendi $D_14$ come gruppo delle isometrie di un poligono di 7 lati, allora essendo 7 dispari avremmo che $Z(D_14)={id}$
Credo che intendesse il primo caso avendo scritto $rφ=r^13φ$
Dev'essere un errore di digitazione, forse volevi scrivere $Z(D_14)={id, r^7}$
"Lorin":
Se tu intendi $D_14$ inteso come gruppo delle isometrie di un poligono di 14 lati, allora essendo 14 pari avremmo che $Z(D_14)={id, r^14}$
Dev'essere un errore di digitazione, forse volevi scrivere $Z(D_14)={id, r^7}$
"Lorin":
Ci sono due modi distinti per indicare il gruppo diedrale, c'è chi lo indica con $D_n$ e chi con $D_2n$.
Se tu intendi $D_14$ inteso come gruppo delle isometrie di un poligono di 14 lati, allora essendo 14 pari avremmo che $Z(D_14)={id, r^14}$
Se invece intendi $D_14$ come gruppo delle isometrie di un poligono di 7 lati, allora essendo 7 dispari avremmo che $Z(D_14)={id}$
Grazie ragazzi del contributo.
Tuttavia l'esercizio utilizza le seguenti parole:
"Trovare il centro per il gruppo diedrale $D_14$ e per il gruppo $Z_2 X S_3$"
Quindi non so cosa intendesse, in ogni caso se fosse di $14$ lati $r^14$ non corrisponde ad una rotazione completa e quindi a $1$?
Per l'altro gruppo il centro non è forse $Z_2$ non essendo $S_3$ abeliano?
Io penso che per $D_14$ si intende il gruppo delle isometrie di un poligono di 7 lati, di solito lo si trova nella forma più comune che è $D_7$, quindi, ripeto, essendo 7 dispari il centro ha un unico elemento, cioè la permutazione identica, cioè $Z(D_7)={id}$ (è proprio una regola se non sbaglio).
Mentre per il secondo esercizio, hai davanti un prodotto diretto di due gruppi, quindi il centro è dato dal prodotto dei centri dei singoli gruppi.
Essendo $ZZ_2$ abeliano allora $Z(ZZ_2)=ZZ_2$, mentre per quanto riguarda $S_3$ possiamo dire che corrisponde alle isometrie di un triangolo equilatero, e quindi possiamo dire $S_3=D_3$ (in particolare $D_n sub S_n$ e se $n=3 => D_n=S_n$). Con questa precisazione dovresti riuscire a finirlo da solo l'esercizio.
Mentre per il secondo esercizio, hai davanti un prodotto diretto di due gruppi, quindi il centro è dato dal prodotto dei centri dei singoli gruppi.
Essendo $ZZ_2$ abeliano allora $Z(ZZ_2)=ZZ_2$, mentre per quanto riguarda $S_3$ possiamo dire che corrisponde alle isometrie di un triangolo equilatero, e quindi possiamo dire $S_3=D_3$ (in particolare $D_n sub S_n$ e se $n=3 => D_n=S_n$). Con questa precisazione dovresti riuscire a finirlo da solo l'esercizio.
"emanuele78":
per il gruppo $Z_2 X S_3$ ... il centro non è forse $Z_2$ non essendo $S_3$ abeliano?
Si puoi considerarlo isomorfo a $ZZ_2$. Però devi stare attento perchè nel caso $ZZ_2 X D_14$ pur non essendo $D_14$ abeliano, il suo centro non è $ZZ_2$ (qui inteso come gruppo delle isometrie di un poligono di 14 lati)
"Lorin":
Io penso che per $D_14$ si intende il gruppo delle isometrie di un poligono di 7 lati, di solito lo si trova nella forma più comune che è $D_7$, quindi, ripeto, essendo 7 dispari il centro ha un unico elemento, cioè la permutazione identica, cioè $Z(D_7)={id}$ (è proprio una regola se non sbaglio).
Mentre per il secondo esercizio, hai davanti un prodotto diretto di due gruppi, quindi il centro è dato dal prodotto dei centri dei singoli gruppi.
Essendo $ZZ_2$ abeliano allora $Z(ZZ_2)=ZZ_2$, mentre per quanto riguarda $S_3$ possiamo dire che corrisponde alle isometrie di un triangolo equilatero, e quindi possiamo dire $S_3=D_3$ (in particolare $D_n sub S_n$ e se $n=3 => D_n=S_n$). Con questa precisazione dovresti riuscire a finirlo da solo l'esercizio.
Partiamo dall'ultimo esercizio, il centro quindi è $Z_2$ essendo $Z_2 X 1 = Z_2$
Mentre cosa accadrebbe se fosse $D_14$ di $14$ lati appunto. Se il centro è ${id, r^14}$ che valore assume $r^14$, non dovrebbe essere $1$ rotazione completa?.
E quindi il centro anche in qust'ultimo caso essere ${id}$?
Grazie
No se il poligono ha 14 lati si hanno 28 elementi e il centro è dato da ${id, r^7}$ prima ho sbagliato a scrivere. In generale se:
$D_n$ con $n$ pari allora $Z(D_n)={id, r^(n/2)}$
$D_n$ con $n$ dispari allora $Z(D_n)={id}$
$D_n$ con $n$ pari allora $Z(D_n)={id, r^(n/2)}$
$D_n$ con $n$ dispari allora $Z(D_n)={id}$
"Lorin":
No se il poligono ha 14 lati si hanno 28 elementi e il centro è dato da ${id, r^7}$ prima ho sbagliato a scrivere. In generale se:
$D_n$ con $n$ pari allora $Z(D_n)={id, r^(n/2)}$
$D_n$ con $n$ dispari allora $Z(D_n)={id}$
ok Thanks
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