Centro di un gruppo
DImostrare che il centro del gruppo $ A_4 x Z_2 $ non è pienamente invariante.
un sottogruppo H di un gruppo G si dice pienamente invariante in G se $H^ alpha <= H$ qualunque sia l'endomorfismo $alpha$ di G.
Avevo pensato di fare così; trovarmi gli elementi di $A_4 x Z_2$ che dovrebbero essere le coppie del tipo permutazionepari-classe interi modulo n con n intero maggiore di zero minore di 2; trovare gli elementi del centro H e vedere che il sottogruppo fissato da un endomorfismo di G non è sottogruppo di H...il problema è però trovare questo endomorfismo; come posso fare?
un sottogruppo H di un gruppo G si dice pienamente invariante in G se $H^ alpha <= H$ qualunque sia l'endomorfismo $alpha$ di G.
Avevo pensato di fare così; trovarmi gli elementi di $A_4 x Z_2$ che dovrebbero essere le coppie del tipo permutazionepari-classe interi modulo n con n intero maggiore di zero minore di 2; trovare gli elementi del centro H e vedere che il sottogruppo fissato da un endomorfismo di G non è sottogruppo di H...il problema è però trovare questo endomorfismo; come posso fare?
Risposte
Inizia a determinare il centro, poi ci penseremo\penserai!
Allora, il gruppo alterno in questione è formato da 12 elementi:
$1=identità,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3),(2 3 4),(1 3 4),(1 2 4),(1 2 3),(2 4 3),(1 4 3),(1 4 2),(1 3 2)$
Gli elementi di $Z_2$ sono invece le classi:
$[0]_2 , [1]_2$
Quindi gli elementi di $A_4 x Z_2$ sono le coppie:
$(1,[0]_2), ((1 2)(3 4),[0]_2), ((1 3)(2 4),[0]_2), ((1 4)(2 3),[0]_2),$
$((2 3 4),[0]_2),((1 3 4),[0]_2),((1 2 4),[0]_2),((1 2 3),[0]_2),((2 4 3),[0]_2),((1 4 3),[0]_2),((1 4 2),[0]_2),((1 3 2),[0]_2),$
$(1,[1]_2),((1 2)(3 4),[1]_2),((1 3)(2 4),[1]_2),((1 4)(2 3),[1]_2),$
$((2 3 4),[1]_2),((1 3 4),[1]_2),((1 2 4),[1]_2),((1 2 3),[1]_2),((2 4 3),[1]_2),((1 4 3),[1]_2),((1 4 2),[1]_2),((1 3 2),[1]_2)$
Il centro di un gruppo è l'insieme costituito da tutti gli elementi del gruppo che sono permutabili con ogni elemento del gruppo stesso. QUindi la prima cosa da fare è prendere un elemento e fare i prodotti con i restanti; con questo procedimento ottengo che sicuramente appartengono al centro:
$(1,[0]_2),(1,[1]_2)$, gli altri facendo alcuni conti (ma non li ho finiti ancora tutti), mi sembrano darmi almeno una volta come prima coordinate un ciclo di lunghezza 4 e quindi non sono elementi del mio gruppo.
Ciò vorrebbe dire che gli unici elementi del centro del mio gruppo sono $(1,[0]_2),(1,[1]_2)$.
Adesso devo vedere se è effettivamente non pienamente invariante.
Il centro di un gruppo è sicuramente caratteristico, per vedere se è pienamente invariante considero un generico endomorfismo $ y $ e faccio l'immagine di un elemento del centro:
$ y(1,[1]_2)=(y(1),y(1+2k))=(y(1),(y(1)+ky(2))$ . Ciò vuol dire che ho ancora elementi del centro solo se y è l'automorfismo identico o quello che mi porta 0 in 1 e 1 in 0; ciò esclude dunque la possibilità che il centro in questione sia pienamente invariante non essendo possibile generalizzare ad ogni endomorfismo. ????????????????????????
$1=identità,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3),(2 3 4),(1 3 4),(1 2 4),(1 2 3),(2 4 3),(1 4 3),(1 4 2),(1 3 2)$
Gli elementi di $Z_2$ sono invece le classi:
$[0]_2 , [1]_2$
Quindi gli elementi di $A_4 x Z_2$ sono le coppie:
$(1,[0]_2), ((1 2)(3 4),[0]_2), ((1 3)(2 4),[0]_2), ((1 4)(2 3),[0]_2),$
$((2 3 4),[0]_2),((1 3 4),[0]_2),((1 2 4),[0]_2),((1 2 3),[0]_2),((2 4 3),[0]_2),((1 4 3),[0]_2),((1 4 2),[0]_2),((1 3 2),[0]_2),$
$(1,[1]_2),((1 2)(3 4),[1]_2),((1 3)(2 4),[1]_2),((1 4)(2 3),[1]_2),$
$((2 3 4),[1]_2),((1 3 4),[1]_2),((1 2 4),[1]_2),((1 2 3),[1]_2),((2 4 3),[1]_2),((1 4 3),[1]_2),((1 4 2),[1]_2),((1 3 2),[1]_2)$
Il centro di un gruppo è l'insieme costituito da tutti gli elementi del gruppo che sono permutabili con ogni elemento del gruppo stesso. QUindi la prima cosa da fare è prendere un elemento e fare i prodotti con i restanti; con questo procedimento ottengo che sicuramente appartengono al centro:
$(1,[0]_2),(1,[1]_2)$, gli altri facendo alcuni conti (ma non li ho finiti ancora tutti), mi sembrano darmi almeno una volta come prima coordinate un ciclo di lunghezza 4 e quindi non sono elementi del mio gruppo.
Ciò vorrebbe dire che gli unici elementi del centro del mio gruppo sono $(1,[0]_2),(1,[1]_2)$.
Adesso devo vedere se è effettivamente non pienamente invariante.
Il centro di un gruppo è sicuramente caratteristico, per vedere se è pienamente invariante considero un generico endomorfismo $ y $ e faccio l'immagine di un elemento del centro:
$ y(1,[1]_2)=(y(1),y(1+2k))=(y(1),(y(1)+ky(2))$ . Ciò vuol dire che ho ancora elementi del centro solo se y è l'automorfismo identico o quello che mi porta 0 in 1 e 1 in 0; ciò esclude dunque la possibilità che il centro in questione sia pienamente invariante non essendo possibile generalizzare ad ogni endomorfismo. ????????????????????????
Tieni presente il fatto seguente (qui indico con [tex]Z(G)[/tex] il centro del gruppo [tex]G[/tex]):
Fatto. Siano [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] due gruppi. Allora [tex]Z(A \times B) = Z(A) \times Z(B)[/tex].
Dimostrazione. L'elemento [tex](a,b) \in A \times B[/tex] sta in [tex]Z(A \times B)[/tex] se e solo se [tex](x,y)(a,b) = (a,b)(x,y)[/tex] per ogni [tex](x,y) \in A \times B[/tex], cioè [tex]xa=ax[/tex] per ogni [tex]x \in A[/tex] e [tex]yb=by[/tex] per ogni [tex]y \in B[/tex], in altre parole [tex](a,b) \in Z(A) \times Z(B)[/tex]. []
Quindi [tex]Z(A_4 \times Z_2) = Z(A_4) \times Z(Z_2) = \{1\} \times Z_2[/tex].
Per mostrare che [tex]Z(A_4 \times Z_2) = \{1\} \times Z_2[/tex] non è pienamente invariante in [tex]A_4 \times Z_2[/tex] devi costruire un omomorfismo [tex]f : A_4 \times Z_2 \to A_4 \times Z_2[/tex] tale che [tex]f(\{1\} \times Z_2) \not \subseteq \{1\} \times Z_2[/tex]. Per ottenerlo ti consiglio di comporre la proiezione [tex]A_4 \times Z_2 \to Z_2[/tex] con un opportuno omomorfismo [tex]Z_2 \to A_4 \times Z_2[/tex].
Fatto. Siano [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] due gruppi. Allora [tex]Z(A \times B) = Z(A) \times Z(B)[/tex].
Dimostrazione. L'elemento [tex](a,b) \in A \times B[/tex] sta in [tex]Z(A \times B)[/tex] se e solo se [tex](x,y)(a,b) = (a,b)(x,y)[/tex] per ogni [tex](x,y) \in A \times B[/tex], cioè [tex]xa=ax[/tex] per ogni [tex]x \in A[/tex] e [tex]yb=by[/tex] per ogni [tex]y \in B[/tex], in altre parole [tex](a,b) \in Z(A) \times Z(B)[/tex]. []
Quindi [tex]Z(A_4 \times Z_2) = Z(A_4) \times Z(Z_2) = \{1\} \times Z_2[/tex].
Per mostrare che [tex]Z(A_4 \times Z_2) = \{1\} \times Z_2[/tex] non è pienamente invariante in [tex]A_4 \times Z_2[/tex] devi costruire un omomorfismo [tex]f : A_4 \times Z_2 \to A_4 \times Z_2[/tex] tale che [tex]f(\{1\} \times Z_2) \not \subseteq \{1\} \times Z_2[/tex]. Per ottenerlo ti consiglio di comporre la proiezione [tex]A_4 \times Z_2 \to Z_2[/tex] con un opportuno omomorfismo [tex]Z_2 \to A_4 \times Z_2[/tex].
il procedimento che ho fatto non è buono?
No, non è buono.
In altre parole, se non riesci a dimostrare una cosa non puoi dedurre che tale cosa è falsa.
Un sottogruppo [tex]H[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] non è pienamente invariante se (per definizione) esiste un omomorfismo [tex]f:G \to G[/tex] tale che [tex]f(H) \not \subseteq H[/tex]. Quindi per dimostrare che un certo [tex]H \leq G[/tex] non è pienamente invariante in [tex]G[/tex] devi dimostrare che un tale omomorfismo [tex]f[/tex] esiste, per esempio costruendolo.
"biggest":Che un argomento non si possa generalizzare non significa che la generalizzazione in questione sia falsa.
Il centro di un gruppo è sicuramente caratteristico, per vedere se è pienamente invariante considero un generico endomorfismo $ y $ e faccio l'immagine di un elemento del centro:
$ y(1,[1]_2)=(y(1),y(1+2k))=(y(1),(y(1)+ky(2))$ . Ciò vuol dire che ho ancora elementi del centro solo se y è l'automorfismo identico o quello che mi porta 0 in 1 e 1 in 0; ciò esclude dunque la possibilità che il centro in questione sia pienamente invariante non essendo possibile generalizzare ad ogni endomorfismo. ????????????????????????
In altre parole, se non riesci a dimostrare una cosa non puoi dedurre che tale cosa è falsa.
Un sottogruppo [tex]H[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] non è pienamente invariante se (per definizione) esiste un omomorfismo [tex]f:G \to G[/tex] tale che [tex]f(H) \not \subseteq H[/tex]. Quindi per dimostrare che un certo [tex]H \leq G[/tex] non è pienamente invariante in [tex]G[/tex] devi dimostrare che un tale omomorfismo [tex]f[/tex] esiste, per esempio costruendolo.
@biggest Legati al dito il procedimento proposto da Martino, tale è standard in questa tipologia di problemi! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo