Centro di un gruppo

[gloriaunimate]

Salve, un esercizio mi chiede se un gruppo di ordine 21 ha centro banale o no.
Per ora ho osservato che 21=7*3. Il 7-sylow è sicuramente unico, invece ci potrebbe essere o un unico 3-sylow o 7 3-sylow. Se anche il 3-sylow è unico, il gruppo è ciclico e dunque il centro coincide con l'intero gruppo.
Non ho capito come sapere quale è il centro in caso i 3-sylow fossero sette.
Grazie

[Stickelberger]

Se il centro $Z$ di un gruppo $G$ di cardinalita' $21$ non e' banale, allora
il gruppo quoziente $G//Z$ ha cardinalita' un divisore proprio di $21$ ed
e' quindi ciclico. E' ben noto che questo implica che $G$ e' abeliano (e quindi
$G//Z$ e' banale).

Ci sono quindi due possibilita': il centro di $G$ e' banale,
oppure $G$ e' abeliano (e quindi ciclico).

[gloriaunimate]

Ah ok grazie! Allora non uso i p-sylow