Centro di un gruppo
Salve a tutti.
Sto studiando la teoria dei gruppi e mi sono imbattuta nel centro di un gruppo.
Vorrei sapere quali sono le proprietà di cui gode il centro, che bisogna conoscere nella risoluzione di esercizi (che richiedono, ad esempio, di calcolare l'ordine del centro conoscendo l'ordine del gruppo).
E' vera la proprietà che dice che dato che il centro è un sottogruppo abeliano allora il suo ordine deve essere minore di 6?
In particolare, un esercizio chiedeva di dimostrare che il centro di un gruppo di ordine 63 non può avere ordine 7.
Ho pensato che, poichè per il I teorema di Sylow esistono p-sottogruppi di Sylow di ordine 3^2 e 7, diciamoli H e K, ed essendo l'ordine di H un primo al quadrato, H dovrà essere abeliano, allora ho applicato la proposizione che dice che H è un sottogruppo abeliano di un gruppo se e solo se coincide con il suo centro. In tal modo escludo che l'ordine del centro sia 7.
Va bene questa dimostrazione?
Grazie a chi mi aiuterà
Sto studiando la teoria dei gruppi e mi sono imbattuta nel centro di un gruppo.
Vorrei sapere quali sono le proprietà di cui gode il centro, che bisogna conoscere nella risoluzione di esercizi (che richiedono, ad esempio, di calcolare l'ordine del centro conoscendo l'ordine del gruppo).
E' vera la proprietà che dice che dato che il centro è un sottogruppo abeliano allora il suo ordine deve essere minore di 6?
In particolare, un esercizio chiedeva di dimostrare che il centro di un gruppo di ordine 63 non può avere ordine 7.
Ho pensato che, poichè per il I teorema di Sylow esistono p-sottogruppi di Sylow di ordine 3^2 e 7, diciamoli H e K, ed essendo l'ordine di H un primo al quadrato, H dovrà essere abeliano, allora ho applicato la proposizione che dice che H è un sottogruppo abeliano di un gruppo se e solo se coincide con il suo centro. In tal modo escludo che l'ordine del centro sia 7.
Va bene questa dimostrazione?
Grazie a chi mi aiuterà
Risposte
Il centro è un sottogruppo abeliano per definizione, quindi la tua proprietà non ha alcun senso.
Penso che la tua dimostrazione possa essere qualcosa del tipo che se il 7-Sylow è il centro allora è normale e commuta con il 3-Sylow, che è abeliano in quanto il suo ordine è il quadrato di un primo. Ma allora il gruppo è il prodotto diretto di sottogruppi abeliano e quindi è abeliano. Ma allora il centro coincide con il gruppo stesso, contraddicendo il fatto che il 7-Sylow sia il centro.
Penso che la tua dimostrazione possa essere qualcosa del tipo che se il 7-Sylow è il centro allora è normale e commuta con il 3-Sylow, che è abeliano in quanto il suo ordine è il quadrato di un primo. Ma allora il gruppo è il prodotto diretto di sottogruppi abeliano e quindi è abeliano. Ma allora il centro coincide con il gruppo stesso, contraddicendo il fatto che il 7-Sylow sia il centro.
Molto chiaro, grazie!
Ci sono proprietà importanti del centro che dovrei conoscere per poterle applicare negli esercizi?
Ci sono proprietà importanti del centro che dovrei conoscere per poterle applicare negli esercizi?
Di solito le proprietà più importanti - che si usano negli esercizi - sono queste:
- Il centro è un sottogruppo abeliano e normale;
- il centro di un p-gruppo è non banale;
- un gruppo di ordine $p^2$ è abeliano (il centro è tutto; l'ha usato vict85 sopra).
La prima è immediata; le ultime due sono conseguenze dell'equazione delle classi. Anche io, comunque, è da un po' di tempo che non faccio queste cose, quindi potrei benissimo aver dimenticato qualcosa di importante. Ti rimando al compendio di Martino qui in Algebra, oppure al Machì o all'Herstein.
- Il centro è un sottogruppo abeliano e normale;
- il centro di un p-gruppo è non banale;
- un gruppo di ordine $p^2$ è abeliano (il centro è tutto; l'ha usato vict85 sopra).
La prima è immediata; le ultime due sono conseguenze dell'equazione delle classi. Anche io, comunque, è da un po' di tempo che non faccio queste cose, quindi potrei benissimo aver dimenticato qualcosa di importante. Ti rimando al compendio di Martino qui in Algebra, oppure al Machì o all'Herstein.
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