C'è o non c'è l'asso?
Buongiorno!
Non riesco a capire un esercizio di logica, ve lo propongo...
Una delle due proposizioni seguenti è vera, l'altra è falsa (non si sa quale):
Se nella mano c'è un re, allora c'è un asso.
Se nella mano non c'è un re, allora c'è un asso.
Scegli la risposta corretta:
A) nella mano c'è un asso.
B) nella mano non c'è un asso.
C) nella mano può esserci o non esserci un asso.
La correzione dell'esercizio segna la B come risposta corretta.
Io all'inizio avevo risposto A, non attenta alla premessa e considerando entrambe le proposizioni vere, ma così non è.
Quindi, ho provato a considerare le tabelle di verità di entrambi i casi:
1) prima proposizione vera, seconda falsa.
2) prima proposizione falsa, seconda vera.
Come risultato ho nel caso 1 che non c'è l'asse, mentre nel caso 2 che c'è l'asse.
Quindi la mia risposta sarebbe in conclusione la C: non posso dire se c'è o non c'è l'asse, dato che non so quale delle due proposizioni è quella falsa.
In cosa sbaglio?
Non riesco a capire un esercizio di logica, ve lo propongo...
Una delle due proposizioni seguenti è vera, l'altra è falsa (non si sa quale):
Se nella mano c'è un re, allora c'è un asso.
Se nella mano non c'è un re, allora c'è un asso.
Scegli la risposta corretta:
A) nella mano c'è un asso.
B) nella mano non c'è un asso.
C) nella mano può esserci o non esserci un asso.
La correzione dell'esercizio segna la B come risposta corretta.
Io all'inizio avevo risposto A, non attenta alla premessa e considerando entrambe le proposizioni vere, ma così non è.
Quindi, ho provato a considerare le tabelle di verità di entrambi i casi:
1) prima proposizione vera, seconda falsa.
2) prima proposizione falsa, seconda vera.
Come risultato ho nel caso 1 che non c'è l'asse, mentre nel caso 2 che c'è l'asse.
Quindi la mia risposta sarebbe in conclusione la C: non posso dire se c'è o non c'è l'asse, dato che non so quale delle due proposizioni è quella falsa.
In cosa sbaglio?
Risposte
Vediamo un po’.
A = “C’è l’asso”
R = “C’è il re”
Si ha che \(\displaystyle \varphi = R\to A \) e \(\displaystyle \psi = \overline{R}\to A \) (uso questa notazione invece di \(\displaystyle \neg R \) perché la ritengo più leggibile).
Preferisco lavorare con congiunzioni e disgiunzioni e quindi trasformo le due proposizioni:
\(\displaystyle \varphi = \overline{R} \vee A \) e \(\displaystyle \psi = R \vee A \).
Perciò \(\displaystyle \overline{\varphi} = \overline{\overline{R} \vee A} = R\wedge \overline{A} \) e \(\displaystyle \overline{\psi} = \overline{R \vee A} = \overline{R} \wedge \overline{A} \).
Ora si ha che \(\displaystyle (\varphi\wedge\overline{\psi})\vee(\overline{\varphi}\wedge \psi) \) è vera.
\begin{align} (\varphi\wedge\overline{\psi})\vee(\overline{\varphi}\wedge \psi) &= \bigl[(\overline{R} \vee A)\wedge \overline{R} \wedge \overline{A} \bigr]\vee \bigl[ R\wedge \overline{A}\wedge (R \vee A) \bigr] \\
&= \bigl[(\overline{R}\wedge \overline{R} \wedge \overline{A}) \vee (A\wedge \overline{R} \wedge \overline{A}) \bigr]\vee \bigl[(R\wedge \overline{A}\wedge R) \vee (R\wedge \overline{A}\wedge A) \bigr] \\
&= (\overline{R} \wedge \overline{A}) \vee (R\wedge \overline{A}) \\
&= \overline{A} \wedge (R\vee \overline{R}) \\
&= \overline{A}
\end{align}
Immagino di non aver fatto errori. Senza dubbi si poteva fare anche usando direttamente le implicazioni.
A = “C’è l’asso”
R = “C’è il re”
Si ha che \(\displaystyle \varphi = R\to A \) e \(\displaystyle \psi = \overline{R}\to A \) (uso questa notazione invece di \(\displaystyle \neg R \) perché la ritengo più leggibile).
Preferisco lavorare con congiunzioni e disgiunzioni e quindi trasformo le due proposizioni:
\(\displaystyle \varphi = \overline{R} \vee A \) e \(\displaystyle \psi = R \vee A \).
Perciò \(\displaystyle \overline{\varphi} = \overline{\overline{R} \vee A} = R\wedge \overline{A} \) e \(\displaystyle \overline{\psi} = \overline{R \vee A} = \overline{R} \wedge \overline{A} \).
Ora si ha che \(\displaystyle (\varphi\wedge\overline{\psi})\vee(\overline{\varphi}\wedge \psi) \) è vera.
\begin{align} (\varphi\wedge\overline{\psi})\vee(\overline{\varphi}\wedge \psi) &= \bigl[(\overline{R} \vee A)\wedge \overline{R} \wedge \overline{A} \bigr]\vee \bigl[ R\wedge \overline{A}\wedge (R \vee A) \bigr] \\
&= \bigl[(\overline{R}\wedge \overline{R} \wedge \overline{A}) \vee (A\wedge \overline{R} \wedge \overline{A}) \bigr]\vee \bigl[(R\wedge \overline{A}\wedge R) \vee (R\wedge \overline{A}\wedge A) \bigr] \\
&= (\overline{R} \wedge \overline{A}) \vee (R\wedge \overline{A}) \\
&= \overline{A} \wedge (R\vee \overline{R}) \\
&= \overline{A}
\end{align}
Immagino di non aver fatto errori. Senza dubbi si poteva fare anche usando direttamente le implicazioni.
Detto in maniera meno prolissa:
Supponi ci sia l'asso, allora entrambi dicono la verità perché la presenza o meno tra le altre carte del re non elimina la presenza dell'asso dalle tue carte. Lo si vede già nelle formule che ho scritto con i \(\vee\) senza entrare nella parte successiva.
Supponi ci sia l'asso, allora entrambi dicono la verità perché la presenza o meno tra le altre carte del re non elimina la presenza dell'asso dalle tue carte. Lo si vede già nelle formule che ho scritto con i \(\vee\) senza entrare nella parte successiva.
Ok, siete stati molto chiari! Ho capito tutto.m 
Grazie mille, gentilissimi.
Grazie mille, gentilissimi.
In breve,
P = ho il re
Q = ho l'asso
se si vuole dimostrare $P rarr Q$ (che ho l'asso) partendo da $P$ (avendo il re)
bisogna che sia vera $P ^^ ( P rarr Q ) $
questo si verifica solo quando è vera $ P ^^ Q $
P = ho il re
Q = ho l'asso
se si vuole dimostrare $P rarr Q$ (che ho l'asso) partendo da $P$ (avendo il re)
bisogna che sia vera $P ^^ ( P rarr Q ) $
questo si verifica solo quando è vera $ P ^^ Q $
Si può verificare il tutto anche in maniera più "meccanica" volendo determinando la tavola di verità. Siano $P1$ e $P2$ due proposizioni definite nel modo seguente:
\[P1 = \text{Se nella mano c'è un re allora c'è un asso}\\
P2 = \text{Se nella mano non c'è un re allora c'è un asso}
\]
Definiamo inoltre le seguenti altre due proposizioni:
\[A = \text{Nella mano c'è un re}\\
B = \text{Nella mano c'è un asso}
\]
Possiamo formalizzare $P1$ e $P2$ dal linguaggio naturale nel modo seguente: $P1 \equiv A \rightarrow B$ e $P2 \equiv \neg A \rightarrow B$.
Ora è possibile costruire la tavola di verità per entrambe le proposizioni come riportato di seguito:
Dalla tabella si deduce come l'unico caso in cui una delle due preposizioni è vera e l'altra è falsa si verifica quando $P1$ è falsa e $P2$ è vera (in tutti gli altri casi risultano entrambe vere). Questo a suo volta accade solo con $A$ vera e $B$ falsa, ossia se l'asso non c'è. Questo prova pertanto che la risposta corretta è la B.
\[P1 = \text{Se nella mano c'è un re allora c'è un asso}\\
P2 = \text{Se nella mano non c'è un re allora c'è un asso}
\]
Definiamo inoltre le seguenti altre due proposizioni:
\[A = \text{Nella mano c'è un re}\\
B = \text{Nella mano c'è un asso}
\]
Possiamo formalizzare $P1$ e $P2$ dal linguaggio naturale nel modo seguente: $P1 \equiv A \rightarrow B$ e $P2 \equiv \neg A \rightarrow B$.
Ora è possibile costruire la tavola di verità per entrambe le proposizioni come riportato di seguito:
| $A$ | $\neg A$ | $B$ | $P1$ | $P2$ |
|---|---|---|---|---|
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T |
| T | T | F | T | F |
Dalla tabella si deduce come l'unico caso in cui una delle due preposizioni è vera e l'altra è falsa si verifica quando $P1$ è falsa e $P2$ è vera (in tutti gli altri casi risultano entrambe vere). Questo a suo volta accade solo con $A$ vera e $B$ falsa, ossia se l'asso non c'è. Questo prova pertanto che la risposta corretta è la B.
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