Cayley for dummies?
Mi sembra che le seguenti considerazioni informali rendano "naturale" il teorema di Cayley (gruppi finiti).
Un gruppo finito $G={a_1,...,a_n}$ si può dire "completamente conosciuto" una volta che sono noti i risultati di tutte le possibili moltiplicazioni di fattori che si possono produrre con i suoi elementi. In virtù della proprietà associativa, a tale fine occorre e basta conoscere i risultati delle $n^2$ "moltiplicazioni di base" $a_ia_j$ in termini degli $a_k$ (chiusura). Ebbene, le $n$ applicazioni $\varphi_{(i)}:G \to G$ definite da $\varphi_{(i)}(a_j)=a_ia_j$ sono biiettive (v. qui), per cui ognuna di esse determina una ed una sola permutazione $\sigma_i \in Sym(n)$ attraverso la posizione $\varphi_{(i)}(a_j)=a_{\sigma_i(j)}$: quindi, in ultima istanza, $G$ è completamente determinato una volta note le permutazioni dell'insieme $\Sigma:={\sigma_i}$. Ma $\Sigma <= Sym(n)$, come dimostrato ancora qui. Pertano, informalmente, $G$ è completamente determinato dal sottogruppo $\Sigma$ di $Sym(n)$, e viceversa. In pratica, $\Sigma$ definisce la combinatoria di base che connota la moltiplicazione in $G$ (e viceversa).
Può andare?
Un gruppo finito $G={a_1,...,a_n}$ si può dire "completamente conosciuto" una volta che sono noti i risultati di tutte le possibili moltiplicazioni di fattori che si possono produrre con i suoi elementi. In virtù della proprietà associativa, a tale fine occorre e basta conoscere i risultati delle $n^2$ "moltiplicazioni di base" $a_ia_j$ in termini degli $a_k$ (chiusura). Ebbene, le $n$ applicazioni $\varphi_{(i)}:G \to G$ definite da $\varphi_{(i)}(a_j)=a_ia_j$ sono biiettive (v. qui), per cui ognuna di esse determina una ed una sola permutazione $\sigma_i \in Sym(n)$ attraverso la posizione $\varphi_{(i)}(a_j)=a_{\sigma_i(j)}$: quindi, in ultima istanza, $G$ è completamente determinato una volta note le permutazioni dell'insieme $\Sigma:={\sigma_i}$. Ma $\Sigma <= Sym(n)$, come dimostrato ancora qui. Pertano, informalmente, $G$ è completamente determinato dal sottogruppo $\Sigma$ di $Sym(n)$, e viceversa. In pratica, $\Sigma$ definisce la combinatoria di base che connota la moltiplicazione in $G$ (e viceversa).
Può andare?
Risposte
ti ringrazio, approfondirò sicuramente, per quanto riuscirò
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo