Catene isomorfe di sottogruppi
Salve a tutti.
Stavolta l'esercizio consiste nel trovare delle catene isomorfe (ora spiego che significa) di sottogruppi per i due gruppi: $A = Z xx Z_{14}$ e $B = Z xx Z_3 xx Z_{75}$ in modo cioè che i vari quozienti delle due catene (non i sottogruppi, naturalmente) siano, accoppiati opportunamente, isomorfi.
Io facendo tante prove alla fine sono riuscita a dimostrare che prendendo sottogruppi di A del tipo $nZ xx mZ_{14}$ e, analogamente per B, del tipo $aZ xx bZ_3 xx cZ_{75}$ non si possono costruire catene isomorfe.
Avevo poi erroneamente concluso che le due catene isomorfe non si potevano costruire. Il prof invece mi dice che ci sono, per cui mi rendo conto che per trovarle bisogna prendere almeno una volta un sottogruppo (faccio l'esempio su A) nella forma $<(n,m)>$ cioè generato da un certo elemento.
Io sto provando e riprovando con i calcoli, ma ho difficoltà a capire poi i quozienti a cosa sono isomorfi.
Avevo fatto dei tentativi prendendo come sottogruppo per B una cosa tipo $H=<(70, 1, 25)>$, che mi faceva venire (facendo i conti a mano, quindi non ne sono sicura) $Q= B / H \sim Z_5 xx Z_3 xx Z_{14}$, e analogamente in A $F= <(15,1)>$ mi tornava $A / F \sim Q$.
Non so se è giusto, e in ogni caso non riesco ad andare avanti.
Anime pie che si vogliono sporcare le mani?
Grazie
Stavolta l'esercizio consiste nel trovare delle catene isomorfe (ora spiego che significa) di sottogruppi per i due gruppi: $A = Z xx Z_{14}$ e $B = Z xx Z_3 xx Z_{75}$ in modo cioè che i vari quozienti delle due catene (non i sottogruppi, naturalmente) siano, accoppiati opportunamente, isomorfi.
Io facendo tante prove alla fine sono riuscita a dimostrare che prendendo sottogruppi di A del tipo $nZ xx mZ_{14}$ e, analogamente per B, del tipo $aZ xx bZ_3 xx cZ_{75}$ non si possono costruire catene isomorfe.
Avevo poi erroneamente concluso che le due catene isomorfe non si potevano costruire. Il prof invece mi dice che ci sono, per cui mi rendo conto che per trovarle bisogna prendere almeno una volta un sottogruppo (faccio l'esempio su A) nella forma $<(n,m)>$ cioè generato da un certo elemento.
Io sto provando e riprovando con i calcoli, ma ho difficoltà a capire poi i quozienti a cosa sono isomorfi.
Avevo fatto dei tentativi prendendo come sottogruppo per B una cosa tipo $H=<(70, 1, 25)>$, che mi faceva venire (facendo i conti a mano, quindi non ne sono sicura) $Q= B / H \sim Z_5 xx Z_3 xx Z_{14}$, e analogamente in A $F= <(15,1)>$ mi tornava $A / F \sim Q$.
Non so se è giusto, e in ogni caso non riesco ad andare avanti.
Anime pie che si vogliono sporcare le mani?
Grazie
Risposte
Cia0, purtroppo non posso darti un grande aiuto se non di suggerirti di utilizzare il lemma della farfalla o di Zassenhaus per costruire altre catene di sottogruppi isomorfe!
Ciao! Eh purtroppo in realtà farfalla e raffinamento di schreirer servono più a dimostrare che non ci sono catene isormofe che a costruirle, almeno per come sono riuscita io.
Grazie comunque
Grazie comunque
"claudiamatica":Non credo di capire bene, purtroppo. Perche' queste "catene"
Stavolta l'esercizio consiste nel trovare delle catene isomorfe (ora spiego che significa) di sottogruppi per i due gruppi: $A = Z xx Z_{14}$ e $B = Z xx Z_3 xx Z_{75}$ in modo cioè che i vari quozienti delle due catene (non i sottogruppi, naturalmente) siano, accoppiati opportunamente, isomorfi.
[tex]\{0\} \times \mathbb{Z}_{14} < A[/tex]
[tex]\{0\} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_{75} < B[/tex]
non vanno bene?
Perche' non sono catene, immagino.
Ma allora cosa intendi per "catene"? I quozienti devono essere semplici?
No no i quozienti non devono essere semplici.
Però nelle catene che hai scritto tu i quozienti che compaiono sono:
Per $A$: $Z e Z_14$
Per $B$: $Z$ e $Z_3 xx Z_{75}$
e non sono isomorfe
Però nelle catene che hai scritto tu i quozienti che compaiono sono:
Per $A$: $Z e Z_14$
Per $B$: $Z$ e $Z_3 xx Z_{75}$
e non sono isomorfe
"claudiamatica":No, nelle catene che ho scritto c'e' un unico quoziente ed e' [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Presumo di capire che una "catena" per te deve partire da [tex]\{0\}[/tex]. O sbaglio?
Però nelle catene che hai scritto tu i quozienti che compaiono sono:
Per $A$: $Z e Z_14$
Per $B$: $Z$ e $Z_3 xx Z_{75}$
e non sono isomorfe
Ok allora ne deduco che ho svarionato di brutto io.
Cioè io quando prendo inclusioni di sottogruppi $0\sub G_1 \sub ... \sub G_i \sub G_{i+1} \sub ... \sub G$ ho sempre contato tutti i quozienti, compreso quello che si ottiene quozientando $G_1$ col gruppo banale.
Ah ok ho capito. Scusami ho letto male e nel tuo primo post non avevo letto prodotto cartesiano ma inclusione.
Si, una catena parte dal sottogruppo banale.
Cioè io quando prendo inclusioni di sottogruppi $0\sub G_1 \sub ... \sub G_i \sub G_{i+1} \sub ... \sub G$ ho sempre contato tutti i quozienti, compreso quello che si ottiene quozientando $G_1$ col gruppo banale.
Ah ok ho capito. Scusami ho letto male e nel tuo primo post non avevo letto prodotto cartesiano ma inclusione.
Si, una catena parte dal sottogruppo banale.
Prendi
[tex]0 < 9 \cdot 25 \mathbb{Z} < 9 \mathbb{Z} < 3 \mathbb{Z} < \mathbb{Z} < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{14} = A[/tex],
[tex]0 < 14 \mathbb{Z} < \mathbb{Z} < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{25} < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{25} \times \mathbb{Z}_3 < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{25} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 = B[/tex].
[tex]0 < 9 \cdot 25 \mathbb{Z} < 9 \mathbb{Z} < 3 \mathbb{Z} < \mathbb{Z} < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{14} = A[/tex],
[tex]0 < 14 \mathbb{Z} < \mathbb{Z} < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{25} < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{25} \times \mathbb{Z}_3 < \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{25} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 = B[/tex].
Ma in questo modo l'ultimo quoziente della catena di A è $9*25 Z$ e l'ultimo quoziente della catena di B è $14 Z$, e nessuno dei due compare nella catena dell'altro
"claudiamatica":Come no? Sono isomorfi
Ma in questo modo l'ultimo quoziente della catena di A è $9*25 Z$ e l'ultimo quoziente della catena di B è $14 Z$, e nessuno dei due compare nella catena dell'altro
Mi ero proprio persa in un bicchiere d'acqua, capisci..
io avevo ragionato allo stesso modo, e poi non avevo realizzato che quozienti di quel tipo sono isomorfi.
Shame on me, shame on me
io avevo ragionato allo stesso modo, e poi non avevo realizzato che quozienti di quel tipo sono isomorfi.
Shame on me, shame on me
Forse avevi in testa isomorfismi di anelli, non so. Comunque non ti devi preoccupare per queste sviste, vai e non fermarti mai 
Il click che mi scattava automatico in testa era questo: se $9Z$ (faccio per dire) e $14Z$ fossero stati isomorfi, allora dovevano essere isomorfi i quozienti di $Z/ 9Z$ e $Z/ 14Z$.
Grazie mille comunque, mi hai aiutato.
Grazie mille comunque, mi hai aiutato.
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