Category Theory: cosa significa "commutative up to isomorphism"?

[Antonio.Romano.870]

Sto studiando la teoria delle categorie dal libro "Cathegory Theory for programmers" che mi offre anche una infarinatura di Haskell. Il libro è in inglese ma non sto avendo grosse difficoltà, tuttavia mi sono imbattuto già più volte in frasi di questo tipo:

Pairs are not strictly commutative: a pair (Int, Bool) cannot be substituted for a pair (Bool, Int) , even though they carry the same information. They are, however, commutative up to isomorphism — the isomorphism being given by the swap function (which is its own inverse):

swap :: (a, b) -> (b, a)
swap (x, y) = (y, x)

Now let’s forget about sets and define a product of two objects in any category using the same universal construction. Such a product doesn’t always exist, but when it does, it is unique up to a unique isomorphism.

Cosa significa up to a (unique) isomorphism? Come si traduce in italiano? Mi pare di capire che, nella prima citazione, la commutatività è garantita da un isomorfismo (lo swap function), mentre nella seconda citazione viene detto che se vi sono più prodotti (max 2) questi sono isomorfi. Quanto sono fuori strada?

[Studente Anonimo]

"A meno di un unico isomorfismo". Vuol dire che se prendi due qualsiasi prodotti $X$ e $Y$ allora esiste un unico isomorfismo $X to Y$.

PS. Si dice "category" (senza h). Ti ho corretto il titolo (per questioni di indicizzazione).

[megas_archon]

C'è anche il problema del doppio significato di "commutativo"; in questo contesto viene usato in due circostanze leggermente diverse: il prodotto cartesiano è "commutativo" nel senso che \(A\times B\cong B\times A\), e un diagramma è "commutativo", per esempio nella proprietà universale che definisce \(A\times B\), se succede che ogni coppia di cammini paralleli che è possibile disegnare sul diagramma compongono alla stessa freccia.

La proprietà universale che definisce \(A\times B\), e in effetti ogni proprietà universale che caratterizza un certo oggetto $P$ di una categoria \(\mathcal C\), è una proposizione che caratterizza $P$ come l'oggetto iniziale di una categoria \(\mathcal X[\mathcal C]\) ottenuta da \(\mathcal C\).

Questa proprietà dice che esiste sempre un'unica freccia da/verso $P$ (a seconda della direzione in cui questa freccia va, caratterizzi $P$ come universale -un limite- o couniversale -un colimite-); l'unicità, in questa proprietà, è quel che implica che ogni due prodotti sono unici a meno di un unico isomorfismo, perché questo è esattamente quel che accade con gli oggetti iniziali/terminali:

Se $P,Q$ sono due oggetti iniziali in una categoria \(\mathcal C\), allora esiste un unico isomorfismo \(P\cong Q\)

La dimostrazione di questo fatto è molto semplice: siccome $P$ è iniziale, esiste un unico morfismo \(u : P \to Q\); siccome $Q$ è iniziale, esiste un unico morfismo \(v : Q\to P\); ora, $u,v$ si possono comporre; la composizione \(vu : P \to P\) è costretta ad essere l'unico endomorfismo di $P$, quello identico; quindi \(vu=1_P\); similmente, \(uv=1_Q\), ed ecco che $u$ è un isomorfismo, di inversa $v$.

Per esempio, nella categoria degli insiemi e delle funzioni, non è vero che tutti gli insiemi con un solo elemento sono "uguali", perché un insieme con un elemento può essere \(P=\{7014\}\) e un altro \(Q=\{\text{Ferrovia}\}\). Questi insiemi non sono uguali (se non nell'assurdo sistema di numerazione di Funes), ma sono isomorfi: c'è un'unica funzione \(P\to Q\), ovviamente invertibile.