[Categorie] Un esercizio
Denotiamo con $pSet$ la categoria degli insiemi puntuati cioè la categoria i cui oggetti sono le coppie $(A,a)$ con $a \in A$ e i morfismi $f:(A,a) -> (B,b)$ tutte le applicazioni tali che $f(a)=b$. La stessa costruzione si può ripetere per altre categorie ottenendo $pGrp$ gruppi puntuati e $pTop$ spazi topologici puntuati. Domande:
1) $pSet$ è equivalente/isomorfo a $Set$ ?
2) $pGrp$ è equivalente/isomorfo a $Grp$ ?
3) $pTop$ è isomorfo/equivalente a $Top$ ?
Queste le mie risposte
1) Sia $F : pSet -> Set$ un'equivalenza, allora scelto un insieme $V \ne \emptyset$ esistono due insiemi puntuati $(A,a)$ e $(B,b)$ tali che $F(A,a) \cong V$ e $F(B,b) \cong \emptyset$, ma $Hom_{Set}(V, \emptyset )$ è vuoto mentre $Hom_{pset}((A,a);(B,b))$ contiene almeno un morfismo. Quindi $F$ non è un funtore, assurdo.
2) Supponiamo $F: pGrp -> Grp$ un'equivalenza e notiamo che $Hom_{pGrp}((ZZ_2,1); (ZZ_3,1)) = \emptyset$ mentre invece $Hom_{Grp}(F(ZZ_2,1), F(ZZ_3,1))$ contiene il morfismo nullo. Quindi il funtore $F$ non è pieno, assurdo.
3) Penso che $Top$ e $pTop$ siano equivalenti tramite il funtore $F:pTop -> Top$ tale che $F(f:(X,x) -> (Y,y)) = Ff: (X-x) -> (Y-y)$ la restrizione di $f$ a $X-x$ e $Y-y$ considerati come sottospazi di $X$ e $Y$ rispettivamente.
Sto sbagliando ?? Grazie!
1) $pSet$ è equivalente/isomorfo a $Set$ ?
2) $pGrp$ è equivalente/isomorfo a $Grp$ ?
3) $pTop$ è isomorfo/equivalente a $Top$ ?
Queste le mie risposte
1) Sia $F : pSet -> Set$ un'equivalenza, allora scelto un insieme $V \ne \emptyset$ esistono due insiemi puntuati $(A,a)$ e $(B,b)$ tali che $F(A,a) \cong V$ e $F(B,b) \cong \emptyset$, ma $Hom_{Set}(V, \emptyset )$ è vuoto mentre $Hom_{pset}((A,a);(B,b))$ contiene almeno un morfismo. Quindi $F$ non è un funtore, assurdo.
2) Supponiamo $F: pGrp -> Grp$ un'equivalenza e notiamo che $Hom_{pGrp}((ZZ_2,1); (ZZ_3,1)) = \emptyset$ mentre invece $Hom_{Grp}(F(ZZ_2,1), F(ZZ_3,1))$ contiene il morfismo nullo. Quindi il funtore $F$ non è pieno, assurdo.
3) Penso che $Top$ e $pTop$ siano equivalenti tramite il funtore $F:pTop -> Top$ tale che $F(f:(X,x) -> (Y,y)) = Ff: (X-x) -> (Y-y)$ la restrizione di $f$ a $X-x$ e $Y-y$ considerati come sottospazi di $X$ e $Y$ rispettivamente.
Sto sbagliando ?? Grazie!
Risposte
La soluzione (3) è oscura. Non è detto che [tex](X,x) \to (Y,y)[/tex] induca [tex]X-x \to Y-y[/tex], il punto [tex]y[/tex] potrebbe avere più controimmagini.
Non puoi semplicemente usare lo stesso argomento che usi in (1)?
Non puoi semplicemente usare lo stesso argomento che usi in (1)?
"Martino":
La soluzione (3) è oscura. Non è detto che [tex](X,x) \to (Y,y)[/tex] induca [tex]X-x \to Y-y[/tex], il punto [tex]y[/tex] potrebbe avere più controimmagini.
Vero. xD
Non puoi semplicemente usare lo stesso argomento che usi in (1)?
Ti confesso che mi era sfuggito il fatto che l'insieme vuoto si potesse considerare come spazio topologico.
E quindi la topologia su $\emptyset$ sarebbe ${ \emptyset }$ ??
Abbiamo fatto molto qui http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=6&t=3585
Mi risulta oscura la definizione di certe categorie di insiemi puntati e strutturati:
Grp e' puntata prendendo come elementi in evidenza le identita', e questo e' il modo banale di farlo. Come definisci di preciso $\mathbf{pGrp}$?
pSet non e' equivalente a Set perche' la prima ha un oggetto zero, la seconda no. Idem per pTop.
"Queste e' una cosa gravi, dottore!"
Mi risulta oscura la definizione di certe categorie di insiemi puntati e strutturati:
Grp e' puntata prendendo come elementi in evidenza le identita', e questo e' il modo banale di farlo. Come definisci di preciso $\mathbf{pGrp}$?
pSet non e' equivalente a Set perche' la prima ha un oggetto zero, la seconda no. Idem per pTop.
Ti confesso che mi era sfuggito il fatto che l'insieme vuoto si potesse considerare come spazio topologico.
"Queste e' una cosa gravi, dottore!"
"killing_buddha":
Come definisci di preciso pGrp?
Il mio libro definisce esplicitamente solo $pSet$, poi mi dice di ripetere la stessa costruzione anche per i gruppi. Allora io ho pensato che gli oggetti dovevano essere le coppie $(G,g)$ con $g \in G$ e i morfismi $f: (G,g) -> (H,h)$ gli omomorfismi (che eventualmente possono anche non esistere) di $G$ in $H$ tali che $f(g)=h$.
"killing_buddha":
Abbiamo fatto molto qui http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=6&t=3585
Grazie mille della segnalazione. Rileggerò tutto con calma se e quando sarò capace di capire tutto quello che c'è scritto.
Ok, allora dovresti poter trovare in $\mathbf{pGrp}$ una sottocategoria piena isomorfa a $\mathbf{Grp}$, semplicemente mandando $G$ in $(G,1_G)$, e agendo di conseguenza sulle frecce (prenderai tutto $\hom_{\mathbf{Grp}}(G,H)$).
Ne metto un altro qua per evitare di aprire tremila topic. Mostrare che
(a) Una categoria è discreta se e solo se ogni sua sottocategoria è piena
(b) In un poset, considerato come una categoria, ogni sottocategoria è isomorphism-dense
(c) In un poset ogni sottocategoria riflettiva è piena
Svolgimento
(a) Una direzione è ovvia. Per l'altra consideriamo la sottocategoria $S$ che ha per oggetti $Ob(S)={A,B}$ e per morfismi Mor$(S) = {id_A,id_B}$. Il fatto che $S$ sia piena mostra che se $A \ne B$ allora non vi sono freccie fra $A$ e $B$, mentre se $A=B$ l'unica freccia è l'identità.
(b) Segue subito dal fatto che, per l'antisimmetria, due oggetti in un poset sono isomorfi solo se coincidono.
(c) Sia $P$ il poset e $Q$ la sua sottocategoria. Mostrare che $Q$ è pieno è lo stesso che mostrare che le identità di $Q$ sono $Q$-riflessioni. Ogni oggetto $x \in Q$ possiede un $Q$-riflessione $r: x -> z$ per qualche $z \in Q$. Considerato il $P$-morfismo $id_x : x->x$ per la def di riflettore esiste un $Q$-morfismo $f: z -> x$ tale che $rf = id_x$. Ma siccome ci troviamo in un poset l'antisimmetria implica che $x = z$ e quindi $id_x = r$ è un riflettore.
Dico bene? Grazie!!
(a) Una categoria è discreta se e solo se ogni sua sottocategoria è piena
(b) In un poset, considerato come una categoria, ogni sottocategoria è isomorphism-dense
(c) In un poset ogni sottocategoria riflettiva è piena
Svolgimento
(a) Una direzione è ovvia. Per l'altra consideriamo la sottocategoria $S$ che ha per oggetti $Ob(S)={A,B}$ e per morfismi Mor$(S) = {id_A,id_B}$. Il fatto che $S$ sia piena mostra che se $A \ne B$ allora non vi sono freccie fra $A$ e $B$, mentre se $A=B$ l'unica freccia è l'identità.
(b) Segue subito dal fatto che, per l'antisimmetria, due oggetti in un poset sono isomorfi solo se coincidono.
(c) Sia $P$ il poset e $Q$ la sua sottocategoria. Mostrare che $Q$ è pieno è lo stesso che mostrare che le identità di $Q$ sono $Q$-riflessioni. Ogni oggetto $x \in Q$ possiede un $Q$-riflessione $r: x -> z$ per qualche $z \in Q$. Considerato il $P$-morfismo $id_x : x->x$ per la def di riflettore esiste un $Q$-morfismo $f: z -> x$ tale che $rf = id_x$. Ma siccome ci troviamo in un poset l'antisimmetria implica che $x = z$ e quindi $id_x = r$ è un riflettore.
Dico bene? Grazie!!
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