Categorie grandi e categorie piccole

[Galoisfan]

Salve a tutti,
E' noto che non esiste l'insieme di tutti gli insiemi, dunque Set e' una categoria grande (o localmente piccola a seconda delle definizioni). Ora io mi chiedo perche' ad esempio le categorie Grp e Top sono anch'esse categorie grandi; perche' non esiste l'insieme di tutti i gruppi o di tutti gli spazi topologici? In generale come faccio a distinguere una classe da un insieme?

[maurer]

Per i gruppi, puoi guardare qui.
Per gli spazi topologici è facile: ogni insieme è uno spazio topologico con la topologia discreta (e anche con quella banale).

In generale, hai provato a studiare NBG? Premetto che non sono un esperto, quindi non ti so dire molto su queste questioni.

[Galoisfan]

Grazie mille, questi due esempi sono chiari, pero' potrei citare gli anelli, le algebre oppure i moduli e in tal caso bisognerebbe provare che essi formano classi e non insiemi. Senza entrare troppo nel dettaglio della teoria NGB esiste un tool per verificare quando si e' in presenza di un insieme oppure di una classe?

[maurer]

Guarda, c'è questo: l'assioma di limitazione.

[killing_buddha]

Vi sono, essenzialmente, due modi elementari di ovviare a questo problema fondazionale: il primo e' dovuto a Grothendieck (cfr. SGA4, pp. 1-3), e si basa sull'inserzione, all'interno dell'usuale teoria degli insiemi (vale a dire quella formulata da Zermelo e Fraenkel) di un assioma aggiuntivo riguardante insiemi speciali detti universi.

Un universo e' un insieme non vuoto $\mathbf U$ che gode delle proprieta' seguenti:

[*:3ghapq2b] Se $x\in\mathbf U$ e $y\in x$, allora $y\in\mathbf U$;[/*:m:3ghapq2b]
[*:3ghapq2b] Se $x,y\in \mathbf U$ allora $\{x,y\}\in \mathbf U$;[/*:m:3ghapq2b]
[*:3ghapq2b] Se $x\in\mathbf U$, allora $y\in \mathbf U$ per ogni $y\subseteq x$;[/*:m:3ghapq2b]
[*:3ghapq2b] Se $I\in \mathbf U$ e $x_i$ e' una famiglia di elementi di $\mathbf U$ indicizzata da $I$, allora $\bigcup_{i\in I} x_i\in \mathbf U$;[/*:m:3ghapq2b][/list:u:3ghapq2b]

Immediata conseguenza di questa definizione e' che gli insiemi che risultano dalle operazioni di unione (su famiglie di indici che sono elementi di $\mathbf U$), coppia (nel senso di Kuratowski per cui $(x,y)=\{x,\{x,y\}\}$), passaggio all'insieme potenza, prodotto cartesiano, esponenziazione (intendendo con $Y^X$ l'insieme delle funzioni da $X$ a $Y$) sono tutti elementi di $\mathbf U$.

In una definizione naif, un universo si puo' dunque pensare come dotato dell'utile proprieta' di essere chiuso rispetto a tutte le usuali operazioni insiemistiche e tuttavia ``abbastanza piccolo da restare un insieme''.
L'assioma proposto da Grothendieck e' il seguente



Ogni insieme $X$ e' elemento di un opportuno universo $\mathbf U_X$.



Secondo la definizione precedente, l'intersezione di due (o piu') universi e' ancora un universo: e' allora chiaro che per ogni insieme esiste il piu' piccolo universo che lo contiene, realizzato come $\bigcap_{\mathbf U\supseteq X} \mathbf U$.

Ci si potrebbe chiedere, ora, qual e' un esempio di universo? Non e' banale rispondere a questa domanda; in SGA4 si legge "[...] Cependant le seul univers connu est l'ensemble des symboles du type $\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, ... \}$ etc. (tous les elements de cet univers sont des ensembles finis et cet univers est denombrable). En particulier, on ne conna\^it pas d'univers qui contienne un element de cardinal infini. [...]"

Il problema e' sottile: se un universo dotato di un elemento di cardinale infinito esistesse, esso sarebbe in modo naturale un modello per la teoria degli insiemi di Zermelo--Fraenkel: questo implicherebbe la consistenza di ZF(C), un fatto vietato dal secondo teorema di incompletezza di G\"odel.

Grazie all'Assioma degli Universi possiamo allora fissare un universo $\mathbf U$ e chiamare "insiemi piccoli" (o insiemi $\mathbf U-$piccoli quando si debba specificare) tutti gli elementi di $\mathbf U$: da cio' segue immediatamente che per ogni insieme $X$ esiste un insieme $\Sigma$ tale che $X\in \Sigma \iff X$ e' un insieme piccolo; basta infatti prendere un universo contenente $X$.

Possiamo a questo punto considerare tutti gli insiemi $\mathbf U-$piccoli dotati di una certa struttura, definendo (per esempio) gli $\mathbf U-$gruppi come tutti i gruppi il cui insieme sottostante e' $\mathbf U-$piccolo, e analogamente gli $\mathbf U-$spazi topologici, gli $\mathbf U-$anelli, gli $\mathbf U-$grafi... Il vantaggio di questa scelta tecnica consiste nell'evitare elegantemente il paradosso di Russell, potendo infatti studiare solo collezioni che restano insiemi; lo svantaggio (cfr. Mac Lane, CWM) consiste nell'obbligo di rinunciare alla possibilita' di studiare ``tutti'' (in una accezione omnicomprensiva) i gruppi, gli spazi topologici, i grafi.

A qualunque utilizzo pratico lo svantaggio appena citato e' pero' di poca importanza: si puo' infatti pensare (cfr. Mac Lane, CWM cap I, par. 6) che, dato un universo $\mathbf U$, tutta la matematica ``ordinaria'' si costruisca studiando unicamente gli insiemi $\mathbf U-$piccoli.

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Un procedimento alternativo (cfr. Borceux, Handbook of mathsfgorical Algebra, pp. 3 e segg.) per evitare il paradosso di Russell consiste nell'adottare l'assiomatica di Goedel--Bernays--Von Neumann (NBG). Nell'insiemistica di Zermelo e Fraenkel (ZF(C)) gli indefiniti sono tre: l'idea di insieme, quella di elemento e la relazione $\in$ di appartenenza tra il secondo e il primo. Nell'insiemistica NBG esiste invece un ulteriore concetto primitivo, quello di classe (che si puo' pensare intuitivamente come ``collezione troppo grande per essere un insieme''); questa nozione e' legata alle precedenti dalla proprieta' per cui ogni insieme e' anche una classe; nella fattispecie si introduce l'assioma



Una classe $\mathsf C$ in NBG e' un insieme se e solo se essa appartiene ad un'altra classe.



Tale assioma conduce al seguente schema di comprensione:



Se $\phi(x_1, ..., x_n)$ e' una formula dove i quantificatori esistenziali occorrono unicamente su variabili che sono insiemi, allora esiste una classe $\mathsf C$ tale che $(x_1, ..., x_n)\in \C \iff \phi(x_1, ...., x_n)$



Ora, e' facile notare che tutte le usuali strutture (gruppi, anelli, spazi topologici,...) soddisfano allo schema di comprensione sopra citato; accettando l'assioma delle classi possiamo trovare (per esempio) una classe $\mathsf{Grp}$ tale che "$(G,\cdot)\in \Grp$ se e solo se $(G,\cdot)$ ``e' un gruppo''", ove con ``e' un gruppo'' si intendono sintetizzare i tre assiomi di gruppo relativi a $G$. Questo definisce la classe di tutti i gruppi.

Ci si potrebbe chiedere, ora, quale sia il giusto punto di vista da adottare. Non e' banale rispondere. Ovviamente la risposta dipende fortemente dalla generalita' di cui si vogliono dotare i risultati che si enunciano. Si puo' mostrare (SGA4, p. 3) che l'assioma degli universi di Grothendieck e' indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi ZF(C), e che fissato un universo $\mathbf U$, si ottiene un modello per NBG scegliendo per ``insiemi'' gli elementi di $\mathbf U$ e per ``classi'' gli elementi di $\mathcal P(\mathbf U)$ (che non e' una classe, cfr. Mac Lane, CWM, cap. I, par. 6).

A tutti i fini pratici, quindi, si potrebbe pensare che i due approcci siano intercambiabili, e la giustificazione di una scelta a discapito dell'altra sia solo un fatto di coerenza. Il primo approccio ha un vantaggio: al prezzo (modico) di sottintendere che gli oggetti siano elementi di un universo $\mathbf U$ fissato una volta per tutte, si evita un problema legato alla categoria dei funtori tra due categorie fissate, di cui si fa ampio uso fin dalle prime pagine di qualsiasi libro sulle categorie.

[killing_buddha]

Maurer, ora dammi un bacino!

[maurer]

Contento?
Lo leggerò stasera, però, ora c'è un esame da preparare che mi chiama!