[Categorie] Coprodotto di complessi di catene
Buon pomeriggio. Ho il seguente problema.
Dati due complessi di catene $X = (X_n, d_n^X)$ e $Y = (Y_n, d_n^Y)$, definisco il coprodotto $X \oplus Y$ elemento per elemento, ossia $X \oplus Y = (X_n \oplus Y_n, d_n)$, dove i differenziali sono ottenuti applicando la proprietà universale al diagramma:
dove le $i_{X_n}$ e $i_{Y_n}$ sono le inclusioni.
Fin qui tutto chiaro. Però si deve dimostrare che, effettivamente, $d_{n-1} \circ d_n = 0$, essendo con complessi di catene. Qui il mio libro di riferimento costruisce anche il coprodotto $X_{n-2} \oplus Y_{n-2}$, giungendo al seguente diagramma:
So spiegare perché le frecce ai lati sono i motorismi nulli (semplicemente perché quella è $i_{X_{n-2}} \circ d_{n-1}^X \circ d_n^X$ che è nulla - analogamente quella per gli $Y_n$).
Poi aggiunge: "Dall'unicità nella proprietà universale applicata al diagramma, segue che $d_{n-1} \circ d_n = 0$. Questo non riesco a motivarlo. La proprietà universale mi dice semplicemente che quel diagramma è commutativo, ossia che $0 = (d_{n-1} \circ d_n) \circ i_{X_n}$. Come ricavo che la prima composizione è nulla?
Dati due complessi di catene $X = (X_n, d_n^X)$ e $Y = (Y_n, d_n^Y)$, definisco il coprodotto $X \oplus Y$ elemento per elemento, ossia $X \oplus Y = (X_n \oplus Y_n, d_n)$, dove i differenziali sono ottenuti applicando la proprietà universale al diagramma:
dove le $i_{X_n}$ e $i_{Y_n}$ sono le inclusioni.
Fin qui tutto chiaro. Però si deve dimostrare che, effettivamente, $d_{n-1} \circ d_n = 0$, essendo con complessi di catene. Qui il mio libro di riferimento costruisce anche il coprodotto $X_{n-2} \oplus Y_{n-2}$, giungendo al seguente diagramma:
So spiegare perché le frecce ai lati sono i motorismi nulli (semplicemente perché quella è $i_{X_{n-2}} \circ d_{n-1}^X \circ d_n^X$ che è nulla - analogamente quella per gli $Y_n$).
Poi aggiunge: "Dall'unicità nella proprietà universale applicata al diagramma, segue che $d_{n-1} \circ d_n = 0$. Questo non riesco a motivarlo. La proprietà universale mi dice semplicemente che quel diagramma è commutativo, ossia che $0 = (d_{n-1} \circ d_n) \circ i_{X_n}$. Come ricavo che la prima composizione è nulla?
Risposte
La proprietà universale mi dice semplicemente che quel diagramma è commutativo
Non esattemente.
Dice che date le quattro frecce esterne, c’e’ un’unica freccia verticale centrale che fa
commutare il diagramma. E tu ne hai due: $d_{n-1}\cdot d_n$ e $0$. E quindi sono uguali.
"Stickelberger":
Dice che date le quattro frecce esterne, c’e’ un’unica freccia verticale centrale che fa
commutare il diagramma.
Sì, giusto: è più corretto espresso in questo modo.
Ma perché ho anche la freccia nulla $0: X_n \oplus Y_n \to X_{n-2} \oplus Y_{n-2}$?
C'è una freccia zero tra ogni coppia di oggetti.
Io ho le frecce nulle $d_{n-1}^X \circ d_{n}^X: X_n \to X_{n-2}$ e $d_{n-1}^Y \circ d_{n}^Y: Y_n \to Y_{n-2}$, perché elementi di complessi di catene. Da qui come passo al coprodotto?
Il differenziale \(X_n\oplus Y_n \to X_{n-1}\oplus Y_{n-1}\) è semplicemente la matrice \(\left(\begin{smallmatrix} d_X & 0 \\ 0 & d_Y \end{smallmatrix}\right)\), no?
Non conosco questa notazione... il mio libro non la usa 
Potresti spiegarmela?
Potresti spiegarmela?
Se \(\mathcal C\) è la categoria dove vivi,
\[
\hom_{\mathcal C}(A\oplus B, C\oplus D) \cong
\hom_{\mathcal C}(A \coprod B, C\prod D) \cong\]
\[\hom_{\mathcal C}(A,C) \times
\hom_{\mathcal C}(A,D) \times
\hom_{\mathcal C}(B,C) \times
\hom_{\mathcal C}(B,D)
\] per la proprietà universale di \(\oplus\); questo significa che un morfismo \(X_n\oplus Y_n \to X_{n-1}\oplus Y_{n-1}\) si scrive come una quaterna di morfismi bla bla; la notazione matriciale è solo un fatto di convenienza, perché guess what, la composizione di morfismi equivale al prodotto di matrici.
\[
\hom_{\mathcal C}(A\oplus B, C\oplus D) \cong
\hom_{\mathcal C}(A \coprod B, C\prod D) \cong\]
\[\hom_{\mathcal C}(A,C) \times
\hom_{\mathcal C}(A,D) \times
\hom_{\mathcal C}(B,C) \times
\hom_{\mathcal C}(B,D)
\] per la proprietà universale di \(\oplus\); questo significa che un morfismo \(X_n\oplus Y_n \to X_{n-1}\oplus Y_{n-1}\) si scrive come una quaterna di morfismi bla bla; la notazione matriciale è solo un fatto di convenienza, perché guess what, la composizione di morfismi equivale al prodotto di matrici.
Ti ringrazio. Mi sapresti, per caso, dare un riferimento bibliografico dove poter approfondire queste osservazioni, a me non note?
Quindi, tornando alla mia domanda, io poi mi ritrovo con la composizione di matrici che, ai posti $(1,1)$ e $(2,2)$, mi restituisce morfismi nulli, e quindi è tutto nullo... giusto?
Quindi, tornando alla mia domanda, io poi mi ritrovo con la composizione di matrici che, ai posti $(1,1)$ e $(2,2)$, mi restituisce morfismi nulli, e quindi è tutto nullo... giusto?
"alfiere15":
Ti ringrazio. Mi sapresti, per caso, dare un riferimento bibliografico dove poter approfondire queste osservazioni, a me non note?
Beh, mi sembra immediato; prova a guardare nel primo capitolo del secondo tomo del Borceux (Handbook of categorical gnogni). E' possibile che la notazione matriciale sia introdotta esplicitamente.
Del resto cos'è una matrice se non un elemento di quel prodotto?
Quindi, tornando alla mia domanda, io poi mi ritrovo con la composizione di matrici che, ai posti $(1,1)$ e $(2,2)$, mi restituisce morfismi nulli, e quindi è tutto nullo... giusto?Tornando alla tua domanda, se definisci così i differenziali, e ricordi che il prodotto di due matrici diagonali è diagonale, hai finito perché $X$ e $Y$ erano complessi di catene in the first place.
Un approccio leggermente più formale è questo: definisci una categoria puntata \(\sf ch\) che ha per oggetti i numeri interi, e dove
\[
{\sf ch}(m,n) = \begin{cases}
\{d,0\}& \text{ se } m=n+1\text{,}\\
\{\text{id}_n,0\}& \text{ se } m=n\text{,}\\
\{0\}& \text{ altrimenti.}
\end{cases}
\] con questa definizione, \(d\circ d=0 : n+2 \to n\) è il morfismo zero; poi definisci \({\sf ch}[{\mathbb Z}]\) come la categoria che ottieni da \(\sf ch\) prendendo gli stessi oggetti e dove \({\sf ch}[{\mathbb Z}](m,n)\) è il gruppo abeliano libero su \({\sf ch}(m,n)\).
Un complesso di catene di gruppi abeliani ora è semplicemente un funtore \(X : {\sf ch}[\mathbb Z] \to \sf Ab\), e similmente, un complesso di catene di \(R\)-moduli...
A questo punto, sai che la categoria dei complessi di catene è completa e cocompleta, perché nelle categorie di funtori i co/limiti si calcolano puntualmente (e in particolare lo sono i coprodotti, che saranno biprodotti, perché \({\sf Cat}({\sf ch}[\mathbb Z], {\sf Ab})\) è abeliana.
"solaàl":
Beh, mi sembra immediato; prova a guardare nel primo capitolo del secondo tomo del Borceux (Handbook of categorical gnogni). E' possibile che la notazione matriciale sia introdotta esplicitamente.
Sì, appena trovato le pagine di riferimento. Ti ringrazio.
Il procedimento più formale lo avevo trovato in un libro, ma fuoriusciva leggermente dagli obiettivi della mia trattazione.
Grazie per le precise spiegazioni. Sei diventato indispensabile per chiarire i miei dubbi!
That means a lot to me
"solaàl":
Il differenziale \(X_n\oplus Y_n \to X_{n-1}\oplus Y_{n-1}\) è semplicemente la matrice \(\left(\begin{smallmatrix} d_X & 0 \\ 0 & d_Y \end{smallmatrix}\right)\), no?
Scusami se riapro, ma mi sto perdendo di nuovo in un bicchiere d'acqua sicuramente... perché le mappe sulla diagonale secondaria sono nulle? Perché, essendo in una categoria abeliana, quindi con bipordotti, la composizione di una proiezione con un'inclusione è nulla?
Decidi tu che lo siano; quella mappa è un differenziale (cioè rende l'oggetto graduato \((X_n\oplus Y_n\mid n\in\mathbb Z)\) un complesso di catene), e l'oggetto così costruito ha la proprietà universale giusta.
"solaàl":
Decidi tu che lo siano; quella mappa è un differenziale (cioè rende l'oggetto graduato \((X_n\oplus Y_n\mid n\in\mathbb Z)\) un complesso di catene), e l'oggetto così costruito ha la proprietà universale giusta.
E motivare dicendo: considero questo diagramma
La mappa di posto $(2,1)$ è: $p_{Y_{n-1}} \circ (d_n \circ i_{X_n}) = p_{Y_{n-1}} \circ (i_{X_{n-1}} \circ d_n^X) = (p_{Y_{n-1}} \circ i_{X_{n-1}} ) \circ d_n^X = 0 \circ d_n^X = 0$, dove $p_{Y_{n-1}}: X_{n-1} \oplus Y_{n-1} \to X_{n-1}$ è la proiezione, è sbagliato?
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