Cardinalita' $Z[x]$/$(2x)$

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno,
come devo procedere per trovare gli elementi invertibili e non del seguente anello
$Z[x]$/$(2x)$
non so proprio da dove partire in questo caso

[NoSignal]

Come accade in $\mathbb{Z}_n$ che gli elementi invertibili sono esattamente i coprimi con n, similmente gli elementi invertibili di quel quoziente sono gli elementi coprimi di $2X$.
Sono tutti i polinomi che non hanno $2,X$ nella scomposizione in fattori primi, ovvero tutti i polinomi che hanno il termine costante non nullo, e tali per cui tutti i coefficienti sono dispari.

[Stickelberger]

?? Non esistono polinomi per cui tutti i coefficienti sono dispari $\ldots$

[ludovica.sarandrea]

"NoSignal":Come accade in $\mathbb{Z}_n$ che gli elementi invertibili sono esattamente i coprimi con n, similmente gli elementi invertibili di quel quoziente sono gli elementi coprimi di $2X$.
Sono tutti i polinomi che non hanno $2,X$ nella scomposizione in fattori primi, ovvero tutti i polinomi che hanno il termine costante non nullo, e tali per cui tutti i coefficienti sono dispari.

Quindi sarebbero 1 e x?

[spugna2]

Non mi torna... ad esempio l'inverso di $x+3$ chi sarebbe?

Io farei così:

Se $A=ZZ[x]$, $I=(2)$, $J=(x)$ e $B=A/((2x))$, le proiezioni al quoziente danno $f: A \rightarrow A/I times A/J \cong \mathbb{F}_2[x] times ZZ$, che ha come nucleo $I cap J=(2x)$, e quindi induce $g: B \rightarrow \mathbb{F}_2[x] times ZZ$ iniettiva. Ora, gli elementi invertibili di $B$ devono andare in elementi invertibili nel codominio, ma le uniche immagini possibili sono $(1,+-1)$, quindi $B$ ha al più due elementi invertibili (che sono $1$ e $-1$).

[ludovica.sarandrea]

"spugna":Non mi torna... ad esempio l'inverso di $x+3$ chi sarebbe?

Io farei così:

Se $A=ZZ[x]$, $I=(2)$, $J=(x)$ e $B=A/((2x))$, le proiezioni al quoziente danno $f: A \rightarrow A/I times A/J \cong \mathbb{F}_2[x] times ZZ$, che ha come nucleo $I cap J=(2x)$, e quindi induce $g: B \rightarrow \mathbb{F}_2[x] times ZZ$ iniettiva. Ora, gli elementi invertibili di $B$ devono andare in elementi invertibili nel codominio, ma le uniche immagini possibili sono $(1,+-1)$, quindi $B$ ha al più due elementi invertibili (che sono $1$ e $-1$).

scusa per $F_2[x]$ intendi $Z_2[x]$?

[dan952]

Sì Ludovica, è più corretta la notazione con F che sta per field (campo) dato che tutti e soli i campi finiti hanno cardinalità = alla potenza di un numero primo

[NoSignal]

"NoSignal":Come accade in $\mathbb{Z}_n$ che gli elementi invertibili sono esattamente i coprimi con n, similmente gli elementi invertibili di quel quoziente sono gli elementi coprimi di $2X$.
Sono tutti i polinomi che non hanno $2,X$ nella scomposizione in fattori primi, ovvero tutti i polinomi che hanno il termine costante non nullo, e tali per cui tutti i coefficienti sono dispari.

Perdonatemi, ho scritto una sciocchezza, quello che ho detto vale quando l'anello di polinomi su cui si quozienta è un PID.
Ma $\mathbb{Z}[X]$ non è un PID.