Cardinalità di un gruppo

[stelladinatale1]

Perchè un gruppo che non ha sottogruppi propri deve avere per forza ordine primo?

[Gi81]

Prendiamo un gruppo $G$ di ordine $k$ , con $k$ non primo. Mostriamo che $k$ ha almeno un sottogruppo proprio.

Certamente esistono $m,n in NN$ tali che $1 Se per assurdo tutti i sottogruppi di $k$ sono non propri, fissato $x in G setminus {1_G}$ si ha che $< x> =G$.

Dunque $x^k =1_G$, cioè $x^(m*n)= 1_G$.
Ma allora l'elemento $x^m$ (certamente diverso dall'unità) ha ordine $n$,
che è minore di $k$. Dunque $|| Ecco, $$ è un sottogruppo proprio di $G$. Assurdo

[stelladinatale1]

ok, ho capito! Grazie tante!

[Leonardo891]

Domanda: prima di dimostrare che il gruppo ha ordine primo, non bisognerebbe dimostrare che il gruppo ha ordine finito?
Si dovrebbe poter fare più o meno nello stesso modo in cui Gi8 ha dimostrato che l'ordine è primo.

[Gi81]

Giusto, Leonardo89. Dobbiamo dimostrare che ogni gruppo infinito possiede almeno un sottogruppo proprio.
Vuoi provare tu?

[Leonardo891]

"Gi8":Giusto, Leonardo89. Dobbiamo dimostrare che ogni gruppo infinito possiede almeno un sottogruppo proprio.
Vuoi provare tu?

Ho come l'impressione di essermela cercata.

Supponiamo \(\displaystyle G \) di ordine infinito.
Sia \(\displaystyle a \in G \setminus \{1\} \). Se \(\displaystyle (a) \subsetneqq G \) la tesi è dimostrata.
Supponiamo, di conseguenza, \(\displaystyle (a)=G \). Così \(\displaystyle G \) risulta un gruppo ciclico infinito e, quindi, isomorfo a \(\displaystyle (\mathbb{Z},+) \), che ha infiniti sottogruppi propri.
Perciò anche \(\displaystyle G \) ha infiniti sottogruppi propri ma ciò è assurdo, da cui la tesi.

Quello che hai fatto tu, Gi8, dovrebbe essere più o meno equivalente ad affermare che un gruppo ciclico finito di ordine \(\displaystyle k \) è isomorfo a \(\displaystyle \left(\frac{\mathbb{Z}}{k\mathbb{Z}},+ \right) \) i quali sottogruppi sono in corrispondenza biunivoca con i divisori di \(\displaystyle k \).

Spero di non aver detto fesserie.

[Gi81]

Direi che va benissimo!