Cardinalita' di anelli quoziente
Buonasera a tutti,
ho un problema con il calcolo della cardinalita' degli elementi, invertibili e non, di alcuni tipi di anelli quoziente.
L'esercizio mi richiede questo: dato $Zp[x,y]$/$I$ con $I=(x,y)^2$ calcolare la cardinalita' dell'anello. (e il numero di elementi invertibili lo aggiungo io, se possibile)
Io ho fatto $(X,Y)(X,Y)=(X^2,Y^2,2XY)$ a questo punto??
Potreste spiegarmi passo per passo motivando le vostre risposte?
ho un problema con il calcolo della cardinalita' degli elementi, invertibili e non, di alcuni tipi di anelli quoziente.
L'esercizio mi richiede questo: dato $Zp[x,y]$/$I$ con $I=(x,y)^2$ calcolare la cardinalita' dell'anello. (e il numero di elementi invertibili lo aggiungo io, se possibile)
Io ho fatto $(X,Y)(X,Y)=(X^2,Y^2,2XY)$ a questo punto??
Potreste spiegarmi passo per passo motivando le vostre risposte?
Risposte
Intanto l'ideale è $(x^2,xy,y^2)$: devi prendere tutti i possibili prodotti di due generatori, ma se ottieni lo stesso prodotto due volte non devi metterci un fattore $2$ (che può fare la differenza perché se $p=2$ i due ideali sono diversi). Detto questo, quozientare per quell'ideale significa mandare a $0$ tutti i monomi di grado totale almeno $2$, quindi ogni polinomio è equivalente a un certo $a+bx+cy$ (che si ottiene eliminando tutti gli altri termini), con $a,b,c \in ZZ_p$. A questo punto, se dimostri che i polinomi del tipo $a+bx+cy$ sono a due a due non equivalenti, puoi dedurre che la cardinalità del quoziente non è altro che il numero di terne $(a,b,c)$, cioè $p^3$.
"spugna":
Intanto l'ideale è $(x^2,xy,y^2)$: devi prendere tutti i possibili prodotti di due generatori, ma se ottieni lo stesso prodotto due volte non devi metterci un fattore $2$ (che può fare la differenza perché se $p=2$ i due ideali sono diversi). Detto questo, quozientare per quell'ideale significa mandare a $0$ tutti i monomi di grado totale almeno $2$, quindi ogni polinomio è equivalente a un certo $a+bx+cy$ (che si ottiene eliminando tutti gli altri termini), con $a,b,c \in ZZ_p$. A questo punto, se dimostri che i polinomi del tipo $a+bx+cy$ sono a due a due non equivalenti, puoi dedurre che la cardinalità del quoziente non è altro che il numero di terne $(a,b,c)$, cioè $p^3$.
grazie mille, tutto chiaro!!
Ho una domanda da farti. Stavo facendo un esercizio e mi sono trovata davanti ad un campo, in cui dovevo calcolare la cardinalita' degli elementi invertibili e non. In questo caso si procede allo stesso modo??
L'anello quoziente era R=$Zp[x]$/$(x^2+x+1)$ che nel caso in cui p=2(mod3) e' un campo. La cardinalita' e' $p^3$?
Il procedimento è simile ma la risposta è diversa: l'ideale è generato da un polinomio di secondo grado, quindi ogni polinomio in $ZZ_p[x]$ è equivalente a un (unico) polinomio di primo grado, che sarebbe il resto della divisione euclidea, ma essendoci una sola variabile è determinato da due coefficienti, e la cardinalità è $p^2$.
Oppure, più rapidamente: stai estendendo un campo con una radice di un polinomio irriducibile di secondo grado, quindi il campo che ottieni è uno spazio vettoriale di dimensione $2$ su $ZZ_p$, cioè isomorfo a $(ZZ_p)^2$.
Oppure, più rapidamente: stai estendendo un campo con una radice di un polinomio irriducibile di secondo grado, quindi il campo che ottieni è uno spazio vettoriale di dimensione $2$ su $ZZ_p$, cioè isomorfo a $(ZZ_p)^2$.
"spugna":
Il procedimento è simile ma la risposta è diversa: l'ideale è generato da un polinomio di secondo grado, quindi ogni polinomio in $ZZ_p[x]$ è equivalente a un (unico) polinomio di primo grado, che sarebbe il resto della divisione euclidea, ma essendoci una sola variabile è determinato da due coefficienti, e la cardinalità è $p^2$.
Oppure, più rapidamente: stai estendendo un campo con una radice di un polinomio irriducibile di secondo grado, quindi il campo che ottieni è uno spazio vettoriale di dimensione $2$ su $ZZ_p$, cioè isomorfo a $(ZZ_p)^2$.
tutto chiaro grazie mille
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