Cardinalità dell'unione di un insieme infinito e finito

[Angus1956]

Se $X$ è un insieme infinito e $Y$ è un insieme finito, allora si provi che $X$ e $XuuY$ hanno la stessa cardinalità.

Allora consideriamo l'inclusione $i:X->XuuY$ che è iniettiva per cui $abs(X)<=abs(XuuY)$, ora siccome $Y$ è finito e $X$ è infinito si ha $abs(X)>=abs(Y)$, per cui esiste una funzione suriettiva $f_1:X->Y$ e poniamo $f_0=Id:X->X$, inoltre si ha anche che $abs(X)>=2=abs({0,1})$ per cui esiste una funzione suriettiva $g:X->{0,1}$, consideriamo quindi le funzioni suriettive $h:Xxx{0,1}->XuuY$ e $s:XxxX->Xxx{0,1}$ definite come $h(x,i)=f_i(x)$ e $s(x_1,x_2)=(x_1,g(x_2))$ per cui abbiamo $f:XxxX->XuuY$ definita come $f(x_1,x_2)=(h\circs)(x_1,x_2)$ suriettiva, per cui $abs(XuuY)<=abs(XxxX)=abs(X)$, per cui $abs(X)=abs(XuuY)$

[megas_archon]

Se sei comodo con quanto AC puoi usare, la maniera piu elegante è questa: per ipotesi esiste \(j : Y\hookrightarrow X\) e \(X\setminus j(Y)\) è in biiezione con $X$ (se no, assurdo).

Ma allora esiste una funzione iniettiva \(X+Y\to X\). Fine.