Cardinalità classe di coniugio A_n
Ciao a tutti,
approfondendo la conclusione di Martino, che ringrazio nuovamente, al mio ultimo post, mi sono imbattuto in questa dimostrazione che però non riesco a comprendere fino in fondo. Qualcuno per favore può aiutarmi?
(Mi permetto di evidenziare la domanda in grassetto per far trovare subito la parte che interessa e far risparmiare tempo nella lettura di chi leggerà.)
Seguendo il suggerimento, ho supposto che ci sia un ciclo $c_i$ di lunghezza pari. Aggiungerei che ci dev'essere un numero pari di cicli $c_i$ di lunghezza pari perché dev'essere $\sigma \in A_n$ per ipotesi. Se $\tau$ è una permutazione pari, allora sono tutte permutazioni pari e anche $\sigma'$ sarà pari, quindi sarà $\sigma' \in A_n$ e le classi di coniugio in $A_n$ e in $S_n$ coincidono.
Se $\tau$ è dispari allora $\tau c_i$ è pari e $(\tau c_i) \sigma (\tau c_i)^{-1} = \sigma'$. Infatti, essendo $\sigma$ composta da cicli disgiunti, possiamo comporli nell'ordine che ci pare, e quindi $\tau c_i c_1 ... c_r c_i^{-1} \tau^{-1} = \tau c_i^2 c_i^{-1} c_1 c_2 ... c_{i-1} c_{i+1} ... c_r \tau^{-1} = \tau c_1 c_2 ... c_{i-1} c_i c_{i+1} ... c_r \tau^{-1} = \tau \sigma tau^{-1} = \sigma'$.
Quindi gli $l_i$ devono essere tutti dispari. Se $\tau$ è una permutazione pari, allora $\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma'$. Se $\tau$ è una permutazione dispari, allora $\tau \sigma \tau^{-1} \notin A_n$ perché dispari.
Qui non capisco come procedere: come influisce la lunghezza $l_i$ dei cicli?
Se penso a $(12)(34)(123)(34)(12)=(142)$ che cosa cambia se siamo in $A_4$ o in $A_5$? Nel primo caso avrei 1 solo ciclo di lunghezza $1$, nel secondo caso avrei 2 cicli di lunghezza $1$, quindi gli $l_i$ non sarebbero distinti a due a due.
Leggendo la parte successiva del suggerimento, mi pare di capire che vogliamo dimostrare che i centralizzanti in $S_n$ e in $A_n$ siano uguali, e quindi la cardinalità della classe di coniugio in $A_n$ sarà la metà di quella in $S_n$.
approfondendo la conclusione di Martino, che ringrazio nuovamente, al mio ultimo post, mi sono imbattuto in questa dimostrazione che però non riesco a comprendere fino in fondo. Qualcuno per favore può aiutarmi?
(Mi permetto di evidenziare la domanda in grassetto per far trovare subito la parte che interessa e far risparmiare tempo nella lettura di chi leggerà.)
Sia $\sigma \in A_n$ una permutazione che si scrive come prodotto di $r >= 1$ cicli disgiunti $c_1, c_2, ..., c_r$ di lunghezza rispettivamente $l_1, l_2, ..., l_r$ (osserviamo che stiamo considerando anche i cicli di lunghezza $1$; per esempio $(1 2 3)$ in $A_4$ la consideriamo composta da due cicli, di lunghezza rispettivamente $3$ e $1$).
Dimostrare che la classe di coniugio di $\sigma$ in $A_n$ coincide con la classe di coniugio di $\sigma$ in $S_n$ tranne nel caso in cui i numeri $l_i$ siano dispari e, se $r >= 2$, a due a due distinti. In tal caso la classe di coniugio di $\sigma$ in $A_n$ contiene la metà degli elementi della classe di coniugio di $\sigma$ in $S_n$ (che si “spezza” in due classi di coniugio di $A_n$).
Seguendo il suggerimento, ho supposto che ci sia un ciclo $c_i$ di lunghezza pari. Aggiungerei che ci dev'essere un numero pari di cicli $c_i$ di lunghezza pari perché dev'essere $\sigma \in A_n$ per ipotesi. Se $\tau$ è una permutazione pari, allora sono tutte permutazioni pari e anche $\sigma'$ sarà pari, quindi sarà $\sigma' \in A_n$ e le classi di coniugio in $A_n$ e in $S_n$ coincidono.
Se $\tau$ è dispari allora $\tau c_i$ è pari e $(\tau c_i) \sigma (\tau c_i)^{-1} = \sigma'$. Infatti, essendo $\sigma$ composta da cicli disgiunti, possiamo comporli nell'ordine che ci pare, e quindi $\tau c_i c_1 ... c_r c_i^{-1} \tau^{-1} = \tau c_i^2 c_i^{-1} c_1 c_2 ... c_{i-1} c_{i+1} ... c_r \tau^{-1} = \tau c_1 c_2 ... c_{i-1} c_i c_{i+1} ... c_r \tau^{-1} = \tau \sigma tau^{-1} = \sigma'$.
Quindi gli $l_i$ devono essere tutti dispari. Se $\tau$ è una permutazione pari, allora $\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma'$. Se $\tau$ è una permutazione dispari, allora $\tau \sigma \tau^{-1} \notin A_n$ perché dispari.
Qui non capisco come procedere: come influisce la lunghezza $l_i$ dei cicli?
Se penso a $(12)(34)(123)(34)(12)=(142)$ che cosa cambia se siamo in $A_4$ o in $A_5$? Nel primo caso avrei 1 solo ciclo di lunghezza $1$, nel secondo caso avrei 2 cicli di lunghezza $1$, quindi gli $l_i$ non sarebbero distinti a due a due.
Leggendo la parte successiva del suggerimento, mi pare di capire che vogliamo dimostrare che i centralizzanti in $S_n$ e in $A_n$ siano uguali, e quindi la cardinalità della classe di coniugio in $A_n$ sarà la metà di quella in $S_n$.
Risposte
Il fatto che $sigma'$ è pari è automatico, perché è coniugato a $sigma$ che è pari, il punto è che vuoi trovare un elemento pari che coniuga $sigma$ in $sigma'$, cioè vuoi $tau$ pari tale che $tau sigma tau^(-1) = sigma'$ (un "coniugatore" pari).
Sulla lunghezza dei cicli, l'idea è la seguente. Dato un prodotto di due cicli disgiunti di uguale lunghezza $l$, diciamo $xy$, esiste un ciclo $z$ di lunghezza $2l$ tale che $z^2=xy$; per esempio se $x=(123)$, $y=(456)$ allora possiamo scegliere $z=(142536)$. Ora $z$ è una permutazione dispari che commuta con $z^2=xy$ (è ovvio che $z$ commuta con $z^2$), quindi qualsiasi coniugato di $xy$ può essere realizzato tramite una permutazione pari moltiplicando il "coniugatore" per $z$ se necessario (cioè se il coniugatore è dispari). In altre parole se $w=gxyg^(-1)$ e $g$ è dispari, allora $gz$ è pari e $(gz)xy(gz)^(-1) = gxyg^(-1) = w$, proprio perché $z$ commuta con $xy$.
Questo si generalizza facilmente per dimostrare che se un elemento ha $S_n$-coniugati che non sono $A_n$-coniugati allora non presenta nella struttura ciclica cicli di uguale lunghezza, poiché se ne avesse, allora potremmo "correggere" tutti i coniugatori dispari moltiplicandoli per un'opportuna permutazione dispari facendoli diventare pari. E quindi la $S_n$-classe sarebbe uguale alla $A_n$-classe.
Sull'esempio di $A_4$ e $A_5$, il punto è che $(12)(123)(12)=(132)$ non è coniugato a $(123)$ in $A_4$ (le idee per dimostrare questo sono contenute nell'altro post) ma è coniugato a $(123)$ in $A_5$, perché possiamo usare il ciclo disgiunto $(45)$ e ottenere $(12)(45)(123)(12)(45)=(132)$.
Sulla lunghezza dei cicli, l'idea è la seguente. Dato un prodotto di due cicli disgiunti di uguale lunghezza $l$, diciamo $xy$, esiste un ciclo $z$ di lunghezza $2l$ tale che $z^2=xy$; per esempio se $x=(123)$, $y=(456)$ allora possiamo scegliere $z=(142536)$. Ora $z$ è una permutazione dispari che commuta con $z^2=xy$ (è ovvio che $z$ commuta con $z^2$), quindi qualsiasi coniugato di $xy$ può essere realizzato tramite una permutazione pari moltiplicando il "coniugatore" per $z$ se necessario (cioè se il coniugatore è dispari). In altre parole se $w=gxyg^(-1)$ e $g$ è dispari, allora $gz$ è pari e $(gz)xy(gz)^(-1) = gxyg^(-1) = w$, proprio perché $z$ commuta con $xy$.
Questo si generalizza facilmente per dimostrare che se un elemento ha $S_n$-coniugati che non sono $A_n$-coniugati allora non presenta nella struttura ciclica cicli di uguale lunghezza, poiché se ne avesse, allora potremmo "correggere" tutti i coniugatori dispari moltiplicandoli per un'opportuna permutazione dispari facendoli diventare pari. E quindi la $S_n$-classe sarebbe uguale alla $A_n$-classe.
Sull'esempio di $A_4$ e $A_5$, il punto è che $(12)(123)(12)=(132)$ non è coniugato a $(123)$ in $A_4$ (le idee per dimostrare questo sono contenute nell'altro post) ma è coniugato a $(123)$ in $A_5$, perché possiamo usare il ciclo disgiunto $(45)$ e ottenere $(12)(45)(123)(12)(45)=(132)$.
Per semplificarti la vita, ti consiglio di dimostrare (non è difficile) che in generale la $S_n$-classe di coniugio di $sigma in A_n$ è uguale alla sua $A_n$-classe di coniugio se e solo se esiste una permutazione dispari che commuta con $sigma$.
Grazie della risposta
Geniale...
Nel frattempo a questo ci ero arrivato, ma mi mancava il pezzo sopra. Grazie ancora
"Martino":
Sulla lunghezza dei cicli, l'idea è la seguente. Dato un prodotto di due cicli disgiunti di uguale lunghezza $ l $, diciamo $ xy $, esiste un ciclo $ z $ di lunghezza $ 2l $ tale che $ z^2=xy $; per esempio se $ x=(123) $, $ y=(456) $ allora possiamo scegliere $ z=(142536) $. Ora $ z $ è una permutazione dispari che commuta con $ z^2=xy $ (è ovvio che $ z $ commuta con $ z^2 $), quindi qualsiasi coniugato di $ xy $ può essere realizzato tramite una permutazione pari moltiplicando il "coniugatore" per $ z $ se necessario (cioè se il coniugatore è dispari). In altre parole se $ w=gxyg^(-1) $ e $ g $ è dispari, allora $ gz $ è pari e $ (gz)xy(gz)^(-1) = gxyg^(-1) = w $, proprio perché $ z $ commuta con $ xy $.
Geniale...
"Martino":
Sull'esempio di $ A_4 $ e $ A_5 $, il punto è che $ (12)(123)(12)=(132) $ non è coniugato a $ (123) $ in $ A_4 $ (le idee per dimostrare questo sono contenute nell'altro post) ma è coniugato a $ (123) $ in $ A_5 $, perché possiamo usare il ciclo disgiunto $ (45) $ e ottenere $ (12)(45)(123)(12)(45)=(132) $.
Nel frattempo a questo ci ero arrivato, ma mi mancava il pezzo sopra. Grazie ancora
"Martino":
Per semplificarti la vita, ti consiglio di dimostrare (non è difficile) che in generale la $ S_n $-classe di coniugio di $ sigma in A_n $ è uguale alla sua $ A_n $-classe di coniugio se e solo se esiste una permutazione dispari che commuta con $ sigma $.
Se $Cl_{A_n}(\sigma) = Cl_{S_n}(\sigma)$, allora
\[
|Cl_{A_n}(\sigma)|=\frac{o(A_n)}{o(C_{A_n}(\sigma))}=\frac{o(S_n)}{2o(C_{A_n}(\sigma))} \\
|Cl_{S_n}(\sigma)|=\frac{o(S_n)}{o(C_{S_n}(\sigma))} \\
2o(C_{A_n}(\sigma))=o(C_{S_n}(\sigma)) \]
allora esiste una permutazione dispari $\tau \in C_{S_n}(\sigma)-C_{A_n}(\sigma)$.
Se esiste una permutazione dispari $\tau \in C_{S_n}(\sigma)-C_{A_n}(\sigma)$, allora
\[ \tau \sigma \tau^{-1} = \sigma \\
\tau^2 \sigma (\tau^2)^{-1} = \tau \sigma \tau^{-1} \\
\tau^2 \in C_{A_n}(\sigma) \\
\tau \in C_{S_n}(\sigma) - C_{A_n}(\sigma)
\] quindi per ogni permutazione dispari che commuta con $\sigma$, esiste una permutazione pari che commuta con $\sigma$.
La prima parte va bene, ma la seconda no: l'esistenza di una permutazione pari che commuta con $sigma$ è banale: l'identità è una permutazione pari e commuta con $sigma$.
Ti ringrazio per la correzione. Ci riprovo.
Devo dimostrare la seconda parte, quindi: se esiste una permutazione dispari che commuta con $\sigma$, allora la $S_n$-classe di coniugio di $\sigma \in A_n$ è uguale alla sua $\A_n$-classe di coniugio.
Devo dimostrare quindi che se esiste una permutazione dispari $\tau \in C_{S_n}(\sigma) - C_{A_n}(\sigma)$, allora $Cl_{S_n}(\sigma)=Cl_{A_n}(\sigma)$.
Dal momento che $|S_n/A_n| = 2$ allora $S_n = A_n \uu \tauA_n$.
\[
C_{S_n}(\sigma) = C_{A_n}(\sigma) \cup \tau C_{A_n}(\sigma) \\
o(C_{S_n}(\sigma)) = 2 o(C_{A_n}(\sigma)) \\
|Cl_{S_n}(\sigma)| = \frac{o(S_n)}{o(C_{S_n}(\sigma))} = \frac{o(S_n)}{2o(C_{A_n}(\sigma))}=\frac{o(A_n)}{o(C_{A_n}(\sigma))}=|Cl_{A_n}(\sigma)| \\
Cl_{S_n}(\sigma) = Cl_{A_n}(\sigma)
\]
"Martino":
Per semplificarti la vita, ti consiglio di dimostrare (non è difficile) che in generale la $ S_n $-classe di coniugio di $ sigma in A_n $ è uguale alla sua $ A_n $-classe di coniugio se e solo se esiste una permutazione dispari che commuta con $ sigma $.
Devo dimostrare la seconda parte, quindi: se esiste una permutazione dispari che commuta con $\sigma$, allora la $S_n$-classe di coniugio di $\sigma \in A_n$ è uguale alla sua $\A_n$-classe di coniugio.
Devo dimostrare quindi che se esiste una permutazione dispari $\tau \in C_{S_n}(\sigma) - C_{A_n}(\sigma)$, allora $Cl_{S_n}(\sigma)=Cl_{A_n}(\sigma)$.
Dal momento che $|S_n/A_n| = 2$ allora $S_n = A_n \uu \tauA_n$.
\[
C_{S_n}(\sigma) = C_{A_n}(\sigma) \cup \tau C_{A_n}(\sigma) \\
o(C_{S_n}(\sigma)) = 2 o(C_{A_n}(\sigma)) \\
|Cl_{S_n}(\sigma)| = \frac{o(S_n)}{o(C_{S_n}(\sigma))} = \frac{o(S_n)}{2o(C_{A_n}(\sigma))}=\frac{o(A_n)}{o(C_{A_n}(\sigma))}=|Cl_{A_n}(\sigma)| \\
Cl_{S_n}(\sigma) = Cl_{A_n}(\sigma)
\]
Sì adesso va bene.
Grazie 
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