Cardinalità anello quoziente
Quanti elementi ha l'anello $A=ZZ_5[X]$/$(X^3-2)$?
Io l'ho risolto in questo modo:
$A=ZZ_5[X]$/$(X^3-2)\congZZ_5[root(3)(2)]=a+b root(3)(2)$ e siccome a e b hanno valori in $ZZ_5$ la cardinalità dell'anello è 25. Va bene?
Grazie di nuovo...
PS poi chiede anche se $bar(X^7)=bar(-X)$ in A. Ma qui non so dove mettere mani.
Io l'ho risolto in questo modo:
$A=ZZ_5[X]$/$(X^3-2)\congZZ_5[root(3)(2)]=a+b root(3)(2)$ e siccome a e b hanno valori in $ZZ_5$ la cardinalità dell'anello è 25. Va bene?
Grazie di nuovo...
PS poi chiede anche se $bar(X^7)=bar(-X)$ in A. Ma qui non so dove mettere mani.
Risposte
$x^3-2$ è riducibile in $ZZ_5 [x]$
$(x^3-2)=(x^3-64)=(x-4)(x^2-4x+1)$
E quindi..?c'è qualche conseguenza che è riducibile..?
E quindi..?c'è qualche conseguenza che è riducibile..?
Premessa: non è vero che $x^3-2=x^3-64$ in $ZZ_5[x]$.
Dovrebbe venire $x^3-2=(x-3)(x^2+3x-1)$.
Se non ricordo male (potrei sbagliare, è un po' che non faccio queste cose)
Chiamato $I=<(x-3)(x^2+3x-1)>$, in $(ZZ_5[x])/I$ si dovrebbe avere ad esempio che $I=3+I$
Dovrebbe venire $x^3-2=(x-3)(x^2+3x-1)$.
Se non ricordo male (potrei sbagliare, è un po' che non faccio queste cose)
Chiamato $I=<(x-3)(x^2+3x-1)>$, in $(ZZ_5[x])/I$ si dovrebbe avere ad esempio che $I=3+I$
Si si è giusto così...ho sbagliato...
Quindi $ZZ_5[x]$/$(x-3)(x^2+3x-1)$
Bo non capisco perchè dovrebbe venire $I=3+I$
E se pure fosse come faccio a trovarmi la cardinalità...?
Quindi $ZZ_5[x]$/$(x-3)(x^2+3x-1)$
Bo non capisco perchè dovrebbe venire $I=3+I$
E se pure fosse come faccio a trovarmi la cardinalità...?
Guarda, non mi ricordo così bene da essere sufficientemente sicuro.
Meglio che mi fermo qui. Ci sarà certamente qualcuno molto più bravo di me che ti spiegherà qual è la strada giusta
Meglio che mi fermo qui. Ci sarà certamente qualcuno molto più bravo di me che ti spiegherà qual è la strada giusta
La fattorizazzione del polinomio non c'entra (sara' un riflesso 
).
La cardinalita' di un anello del tipo $ZZ_p[X]$ modulo $(f(X))$
dipende solo dal grado del polinomio $f(X)$.
).La cardinalita' di un anello del tipo $ZZ_p[X]$ modulo $(f(X))$
dipende solo dal grado del polinomio $f(X)$.
Intanto grazie lo stesso Gi8.
E il grado del polinomio cosa c'entra..?c'è un teorema dietro?me lo potresti spiegare gentilmente, perchè non ne so proprio nulla. Grazie mille.
E il grado del polinomio cosa c'entra..?c'è un teorema dietro?me lo potresti spiegare gentilmente, perchè non ne so proprio nulla. Grazie mille.
Supponiamo di avere un campo \(\mathbb{F}\) e un polinomio \(f\in\mathbb{F}[x]\) di grado \(n\). Vogliamo studiare che tipo di polinomi ci sono nel quoziente \(\mathbb{F}[x]/(f)\).Tale insieme è dato da:
\[\{g+(f)\,|\,g\in\mathbb{F}[x]\}\]
Ora, per il teorema di riduzione, qualunque sia \(g\in \mathbb{F}[x]\), esistono unici i polinomi \(q,r\in \mathbb{F}[x]\) con \(\deg(r)=0\) o \(\deg(r)<\deg(f)\) tali che
\[g=fq+r\]
Dunque, passando al quoziente, il polinomio \(g\) è rappresentato in modo UNICO dal suo resto secondo la divisione per \(f\). In altre parole, se \(f\) ha grado \(n\),
\[\mathbb{F}[x]/(f)=\{a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+(f)\,|\,a_i\in\mathbb{F}\,\,\forall i=0,\dots,n-1\}\]
\[\{g+(f)\,|\,g\in\mathbb{F}[x]\}\]
Ora, per il teorema di riduzione, qualunque sia \(g\in \mathbb{F}[x]\), esistono unici i polinomi \(q,r\in \mathbb{F}[x]\) con \(\deg(r)=0\) o \(\deg(r)<\deg(f)\) tali che
\[g=fq+r\]
Dunque, passando al quoziente, il polinomio \(g\) è rappresentato in modo UNICO dal suo resto secondo la divisione per \(f\). In altre parole, se \(f\) ha grado \(n\),
\[\mathbb{F}[x]/(f)=\{a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+(f)\,|\,a_i\in\mathbb{F}\,\,\forall i=0,\dots,n-1\}\]
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