Cardinalità
qual è la cardinalità delle rette del piano???
domanda facile...però carjavascript:emoticon(':-D')
javascript:emoticon(':-D')ina...ovviamente mi dovete dire il perchè non solo il risultato...
domanda facile...però carjavascript:emoticon(':-D')
javascript:emoticon(':-D')ina...ovviamente mi dovete dire il perchè non solo il risultato...
Risposte
direi la cardinalità del continuo
e perchè?????....
Ma della risposta di Nebula sono convinto anch'io.
Posso cominciare a provarlo anche se sicuramente dirò un bel po' di boiate?
Ogni singola generica retta del piano avrà equazione cartesiana:
$a x + b y + c = 0$, $[a : b : c ] in bbP^2(RR)$.
Cioè, ad ogni retta del piano si può associare univocamente un punto di $ bbP^2(RR)$.
Quest'ultimo è in corrispondenza biunivoca (anzi è omeomorfo con le topologie usuali) con lo spazio $bbS^2$ in cui si identificano i punti diametralmente opposti sulla frontiera.... ma poi non so andare avanti...
Posso cominciare a provarlo anche se sicuramente dirò un bel po' di boiate?
Ogni singola generica retta del piano avrà equazione cartesiana:
$a x + b y + c = 0$, $[a : b : c ] in bbP^2(RR)$.
Cioè, ad ogni retta del piano si può associare univocamente un punto di $ bbP^2(RR)$.
Quest'ultimo è in corrispondenza biunivoca (anzi è omeomorfo con le topologie usuali) con lo spazio $bbS^2$ in cui si identificano i punti diametralmente opposti sulla frontiera.... ma poi non so andare avanti...
noooooooooooooooooooooooo.... senza mettere in gioco gli spazi proiettivi.... moooooolto più semplice....
aiutino?
sono tante quante le $f:NN->RR$...a voi capire il perchè....
Ad ogni retta $ax+by+c=0$ si può associare la tripla di numeri reali $(a,b,c)$. Pertanto la cardinalità dell'insieme delle rette del piano è $<=card(RR^3)=c$.
Ma la cadinalità dell'insieme delle rette non può essere inferiore a $c$: basta considerare $y=mx, m in RR$. Dunque la cardinalità è $c$.
Ma la cadinalità dell'insieme delle rette non può essere inferiore a $c$: basta considerare $y=mx, m in RR$. Dunque la cardinalità è $c$.
o altrimenti, le rette nel piano sono descritte o da $y=mx+q$ o da $x=c$, quindi {rette del piano}=$RR^2 uu RR$.
"Nebula":
o altrimenti, le rette nel piano sono descritte o da $y=mx+q$ o da $x=c$, quindi {rette del piano}=$RR^2 uu RR$.
Praticamente era la mia risposta...
Ma come si fa a dimostrare che le rette del piano sono tante quante le successioni di numeri reali?
"amel":
[quote="Nebula"]o altrimenti, le rette nel piano sono descritte o da $y=mx+q$ o da $x=c$, quindi {rette del piano}=$RR^2 uu RR$.
Praticamente era la mia risposta...
Ma come si fa a dimostrare che le rette del piano sono tante quante le successioni di numeri reali?
[/quote]l'insieme delle successioni di reali non ha cardinalità almeno $aleph_2$, cioè strettamente superiore al continuo?
"Nebula":
l'insieme delle successioni di reali non ha cardinalità almeno $aleph_2$, cioè strettamente superiore al continuo?
No! Si dimostra addirittura che l'insieme delle funzioni da $\QQ$ ad $\RR$ ha la potenza del continuo!
mmm... con una sorta di argomento diagonale, del tipo usato per dimostrare che $QQ$ è numerabile?
e invece le funzioni da $RR$ in $RR$ sono almeno $aleph_2$, vero?
e invece le funzioni da $RR$ in $RR$ sono almeno $aleph_2$, vero?
le funzioni da $RR->RR$ sono $aleph_2$ esattamente se si prende per buono l'ipotesi del continuo generalizzata... per quanto rigurda le funzioni da $QQ->RR$ sono $\aleph_1$...ottima la risposta di piera...
"Nebula":
mmm... con una sorta di argomento diagonale, del tipo usato per dimostrare che $QQ$ è numerabile?
Non esattamente. Si fa vedere che esiste una funzione iniettiva da $P(\NN)^{\QQ}$ a $P{\QQ\times\NN}$, per cui la cardinalità dell'insieme $P(\NN)^{\QQ}$ è non superiore a quella di $P{\QQ\times\NN}$. Poi si identifica $\RR$ con l'insieme delle parti di $\NN$, e si ha la tesi. Per i dettagli, cerca sul forum.
"Nebula":
e invece le funzioni da $RR$ in $RR$ sono almeno $aleph_2$, vero?
Sì.
Ciao,
L.
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