Caratterizzazione gruppi semplici

[Studente Anonimo]

Una caratterizzazione divertente:

Dato un gruppo [tex]G[/tex], mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. [tex]G[/tex] è semplice.
2. [tex]\Delta := \{(g,g)\ |\ g \in G\}[/tex] è un sottogruppo massimale di [tex]G \times G[/tex].

[mistake89]

Ci provo sperando di non dire bestialità, anche perchè ho appena letto la definizione di sottogruppo massimale, quindi potrei averla capita male

$1->2$
Considero il gruppo $Delta$, esso risulta normale in $GxG$ perchè stabile sotto la coniugazione, poichè per ipotesi $G$ è semplice, allora $Delta=GxG$
Ma questa cosa non mi convince... è vero sempre che un prodotto diretto di gruppi semplici è semplice?

$2->1$
costruisco un omomorfismo $phi$ da $GxG$ in $G$ con la mappa che associa a $(g,g)$, $ginG$. Il $ker$ è ridotto al solo elemento neutro, e risulta ovviamente surgettivo. Posso costruire il quoziente $GxG//kerphi$, essendo il $ker$ un sottogruppo normale, e so che il mio gruppo quoziente è isomorfo a $G=Im(phi)$. Ma essendo $ker$ banale, allora $GxG//Kerphi=GxG$, quindi $G$ è semplice.

Che dici Martino, ho detto qualche bestialità?

[Studente Anonimo]

Ho due obiezioni.

(a) $Delta$ non è normale in $G xx G$.

(b) La seconda parte ($2 to 1$) non dimostra niente. La mappa $(g,g) to g$ è un isomorfismo, e non capisco come deduci da questo che $G$ è semplice.

PS: se $G ne {1}$ è semplice allora $G xx G$ non è mai semplice.

[mistake89]

Immaginavo di aver detto bestialità
Ci penserò ancora un pò su. Chiedo giusto per avere la certezza, ancora ho capito male, un sottogruppo si dice massimale se è il più grande dei sottogruppi (propri) di un gruppo $G$? Dove ho letto la definizione io la riferiva in generale ad una certa proprietà $P$

Il PS me lo annoterò, può sempre tornare utile.
Grazie!

[Studente Anonimo]

"mistake89":un sottogruppo si dice massimale se è il più grande dei sottogruppi (propri) di un gruppo $G$?

Più precisamente, un sottogruppo proprio $M$ di $G$ si dice sottogruppo massimale di $G$ se non esistono sottogruppi propri $H$ di $G$ che contengono propriamente $M$. In altre parole ogni volta che $M le H le G$ si ha $H=M$ oppure $H=G$.

Il PS me lo annoterò, può sempre tornare utile.

Se ci pensi è ovvio: ${1} xx G$ e $G xx {1}$ sono sottogruppi normali di $G xx G$

[mistake89]

Martino, ho trovato una definizione equivalente di gruppo semplice che magari spiega un pò cosa ho tentato di fare per dimostrare $2->1$

$G$ è semplice se i soli gruppi omomorfi a $G$ sono isomorfi a $G$ o a ${1}$.
Con questo intento ho costruito il mio isomorfismo, ma magari c'era qualcosa che non andava!

[Studente Anonimo]

Il fatto è che un gruppo $G$ è sempre isomorfo a $Delta={(g,g)\ |\ g in G}$, a prescindere da come sia fatto $G$.

[mistake89]

Ho capito! Però non capisco allora la definizione di semplice sopra esposta, devo pensarci meglio.
Continuerò a pensarci... ieri mi ha fatto volar via il pomeriggio

[vict85]

Devo ammettere che questa risposta è frutto di una ricerca; quindi non mi è venuta in mente proprio spontaneamente. Devo ammettere che è un problema relativamente difficile ma effettivamente abbastanza illuminante, almeno per me.

LEMMA Se [tex]N[/tex] è un sottogruppo normale allora il sottoinsieme [tex]S[/tex] di [tex]G^2[/tex] definito come [tex]S=\cup (g,g)N^2[/tex] (l'unione dei quadrati dei laterali sinistri di [tex]N[/tex]) è un sottogruppo di [tex]G[/tex].

Ovviamente dimostrato questo segue il teorema direttamente.

DIMOSTRAZIONE - Devo dimostrare che [tex](g_1n_1,g_1n_2)(g_2n_3,g_2n_4)^{-1}\in S[/tex].
Cominciamo con il fare il calcolo [tex](g_1n_1,g_1n_2)(g_2n_3,g_2n_4)^{-1} = (g_1n_1,g_1n_2)(n_3^{-1}g_2^{-1}, n_4^{-1}g_2^{-1}) = (g_1n_1n_3^{-1}g_2^{-1}, g_1n_2n_4^{-1}g_2^{-1})[/tex]. Per la normalità di [tex]N[/tex] esisteranno inoltre [tex]n_5[/tex] e [tex]n_6[/tex] tali che [tex]n_2n_3^{-1}g_2^{-1} = g_2^{-1}n_5[/tex] e [tex]n_2n_4^{-1}g_2^{-1} = g_2^{-1}n_6[/tex]. Quindi [tex](g_1n_1n_3^{-1}g_2^{-1}, g_1n_2n_4^{-1}g_2^{-1}) = (g_1g_2^{-1}n_5, g_1g_2^{-1}n_6)\in S[/tex].

[Studente Anonimo]

@vict:

più semplicemente, se $N$ è normale in $G$ allora $Delta(N xx N)$ è un sottogruppo di $G xx G$ in quanto $N xx N$ è normale in $G xx G$ (in generale se uno di due sottogruppi è normale allora il loro prodotto è un sottogruppo). Inoltre se $N ne G$ allora $Delta(N xx N) ne G xx G$ perché se $g in G-N$ allora $(1,g)$ non appartiene a $Delta(N xx N)$. Questo dimostra $2 to 1$.

Ma $1 to 2$ è ancora intonso

"mistake89":ieri mi ha fatto volar via il pomeriggio

Tempo usato ottimamente

[a_g_t]

Salve,

Ho trovato questo in "Maximal subgroups of direct products" (Jacques Thévenaz):

"LEMMA.The lattice of subgroups of G × G containing ∆ is isomorphic to the lattice of normal subgroups of G. In particular ∆ is maximal if and only if G is simple."

Allora, definiamo $\alpha$ e $beta$:

$\{ \Delta \leq S \leq G \times G \} \leftrightarrow \{N$ normale in $G \}$

$S \rightarrow \alpha (S)=\{n : (n,1) \in S \}$

$\{(ng,g): n \in N , g \in G \}=\beta (N) \leftarrow N$

Sono ben definite, basta dimostrare che se $\Delta \leq S \leq G \times G$ allora $\alpha (S)$ è normale in $G$, e se $N$ è normale in $G$ allora $\Delta \leq \beta(N) \leq G \times G$, è facile.

Queste funzioni sono inverse l'una dell'altra, basta dimostrare che $\beta (\alpha (S))=S$ e $\alpha (\beta (N))=N$, anche questo è facile.

Bello esercizio!

[Studente Anonimo]

"a_g_t":Ho trovato questo in "Maximal subgroups of direct products" (Jacques Thévenaz)

Proprio da qui ho preso l'esercizio