Caratterizzazione gruppi nilpotenti
Salve, avrei bisogo di un chiarimento su una dimostrazione
Non riesco a capire, quando dice "it follows by induction". E perchè?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Qualcuno potrebbe esplicitarmi base d'induzione, ipotesi e passo induttivo ?? Il resto è chiaro. Grazie mille!
Non riesco a capire, quando dice "it follows by induction". E perchè?
Qualcuno potrebbe esplicitarmi base d'induzione, ipotesi e passo induttivo ?? Il resto è chiaro. Grazie mille!
Risposte
Sta usando il fatto che se [tex]N[/tex] è un sottogruppo centrale di [tex]G[/tex] (cioè contenuto nel centro di [tex]G[/tex]) e [tex]G/N[/tex] è nilpotente allora [tex]G[/tex] è nilpotente. Questo si dimostra (NON per induzione - ho modificato) nel modo ovvio.
Gazie Martino, è solo che nelle pagine precedenti non ho trovato questo risultato che mi dici. Forse lo omette perchè è ovvio (ma purtroppo per me non lo è... 
)
Dunque vediamo se ci riesco... Supponiamo la tesi vera per tutti i gruppi con ordine $<=n$ e sia $G$ un gruppo di ordine $n+1$ tale che $N<= Z(G)$ e $G/N$ sia nilpotente. Poichè $|G/N|<=n$ per ipotesi c'è una serie centrale superiore
${1} <= {Z(G)}/N <= {Z_2(G)}/N<= ... <= G/N$
e quindi ${1} <= Z(G) <= Z_2(G) <= ... <= G$ è una serie centrale superiore per $G$ infatti
${Z_{i+1}(G)}/{Z_i(G)} \cong {{Z_{i+1}(G)}/N}/{{Z_i(G)}/N} \subset Z({G/N}/{{Z_i(G)}/N}) \cong Z(G/{Z_i(G)})$
Così va bene ??
) "Martino":
Questo si dimostra per induzione nel modo ovvio.
Dunque vediamo se ci riesco... Supponiamo la tesi vera per tutti i gruppi con ordine $<=n$ e sia $G$ un gruppo di ordine $n+1$ tale che $N<= Z(G)$ e $G/N$ sia nilpotente. Poichè $|G/N|<=n$ per ipotesi c'è una serie centrale superiore
${1} <= {Z(G)}/N <= {Z_2(G)}/N<= ... <= G/N$
e quindi ${1} <= Z(G) <= Z_2(G) <= ... <= G$ è una serie centrale superiore per $G$ infatti
${Z_{i+1}(G)}/{Z_i(G)} \cong {{Z_{i+1}(G)}/N}/{{Z_i(G)}/N} \subset Z({G/N}/{{Z_i(G)}/N}) \cong Z(G/{Z_i(G)})$
Così va bene ??
Non lo chiamerei "risultato", è un tipo di argomento standard a cui dopo un po' uno si abitua 
L'idea è semplice: il teorema di corrispondenza dei sottogruppi implica che la nilpotenza la si può verificare "dal centro in su" ("andare sopra" in questa terminologia significa andare a quoziente).
Il tuo procedimento è giusto, ammesso che sottintendi che quegli isomorfismi sono canonici (quelli dedotti dal teorema di corrispondenza). Tuttavia se noti non hai veramente usato l'induzione, e in particolare non hai usato che [tex]G[/tex] è finito. L'argomento che hai usato ha sapore categoriale (teoria delle categorie), nel senso che opportunamente reinterpretato vale per altre strutture, non solo i gruppi.
Nella dimostrazione contenuta nell'immagine che hai inserito l'induzione viene usata non per dimostrare l'argomento che ti ho proposto ma per poter supporre [tex]G/N[/tex] nilpotente. L'argomento di cui ti ho parlato io lo usa dopo. Avrebbe dovuto iniziare la dimostrazione dicendo "facciamo induzione su [tex]|G|[/tex]". Ma una volta abituati non serve più specificarlo.
Per la cronaca, mi pare ci sia un risultato che dice che se [tex]N \unlhd G[/tex] è caratteristico e [tex]N,G/N'[/tex] sono nilpotenti allora [tex]G[/tex] è nilpotente (qui [tex]N'[/tex] indica il sottogruppo derivato di [tex]N[/tex]). Ma non ricordo dove l'ho visto.
L'idea è semplice: il teorema di corrispondenza dei sottogruppi implica che la nilpotenza la si può verificare "dal centro in su" ("andare sopra" in questa terminologia significa andare a quoziente).
Il tuo procedimento è giusto, ammesso che sottintendi che quegli isomorfismi sono canonici (quelli dedotti dal teorema di corrispondenza). Tuttavia se noti non hai veramente usato l'induzione, e in particolare non hai usato che [tex]G[/tex] è finito. L'argomento che hai usato ha sapore categoriale (teoria delle categorie), nel senso che opportunamente reinterpretato vale per altre strutture, non solo i gruppi.
Nella dimostrazione contenuta nell'immagine che hai inserito l'induzione viene usata non per dimostrare l'argomento che ti ho proposto ma per poter supporre [tex]G/N[/tex] nilpotente. L'argomento di cui ti ho parlato io lo usa dopo. Avrebbe dovuto iniziare la dimostrazione dicendo "facciamo induzione su [tex]|G|[/tex]". Ma una volta abituati non serve più specificarlo.
Per la cronaca, mi pare ci sia un risultato che dice che se [tex]N \unlhd G[/tex] è caratteristico e [tex]N,G/N'[/tex] sono nilpotenti allora [tex]G[/tex] è nilpotente (qui [tex]N'[/tex] indica il sottogruppo derivato di [tex]N[/tex]). Ma non ricordo dove l'ho visto.
"Martino":
Non lo chiamerei "risultato", è un tipo di argomento standard a cui dopo un po' uno si abitua
Si scusa, non ho ancora molta "confidenza" con la teoria dei gruppi. Ho cominciato con questo testo (Humphreys) perchè mi sembra non troppo complicato, ma comunque più completo rispetto a quelle quattro nozioni che ho studiato sui testi di "Algebra 1" ... xD
Grazie per tutte le osservazioni.
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