Caratterizzazione di sottogruppi normali.
Siano $(G,**)$ e $H,K le G.$ Devo verificare
Per il seguito, mi occorrono
1)$H$ \(\displaystyle \unlhd\) $ <=> Hx=xH, forall x in ,$
2)$\={hk|h in H, k in K}.$
3)L'unione insiemistica è commutativa, dunque $\=.$
Preso $x in $ esistono $h_1 in H, k_1 in K$ tali che $x=h_1k_1,$
inoltre, dalla 2) e 3) esistono $k_2 in K, h_2 in H$ tali che $h_1k_1=k_2h_2. $
Allora dalla 1) si ha $H(h_1k_1)=(k_2h_2)H<=>(Hh_1)k_1=k_2(h_2H)<=>Hk_1=k_2H$.
Facendo variare $x in$ si ha la tesi.
Non lo so se questo mio modo di procedere va bene.
Se $H$ normale in $$ comporta $HK=KH.$
Per il seguito, mi occorrono
1)$H$ \(\displaystyle \unlhd\) $
2)$
3)L'unione insiemistica è commutativa, dunque $
Preso $x in
inoltre, dalla 2) e 3) esistono $k_2 in K, h_2 in H$ tali che $h_1k_1=k_2h_2. $
Allora dalla 1) si ha $H(h_1k_1)=(k_2h_2)H<=>(Hh_1)k_1=k_2(h_2H)<=>Hk_1=k_2H$.
Facendo variare $x in
Non lo so se questo mio modo di procedere va bene.
Risposte
Non mi convince molto l'idea di prendere $x\in $ e concludere che $\exists h_1 \in H, k_1 \in K$ tali che $x=h_1k_1$ perchè a priori $x$ potrebbe essere una "parola" più lunga nell'alfabeto $(H \cup K) \cup (H \cup K)^-1$. Ad esempio quella particolare $x$ che hai preso tu potrebbe essere un $x=h_1k_1^-1h_2^3k_2$ ecc... non puoi saperlo!
Io farei così:
Chiamo $R:=$
dim:
$\subseteq$) $rHr^-1 \subseteq H$ $\forall r \in R$. Sia $x\in HK$ allora $\exists h\in H, \exists k \in K$ tali che $x=hk=k(k^-1hk)$ ma $k\in R$ allora $x=kh'$ dove $h'\in H$ per normalità.
L'altra inclusione sfrutta la stessa idea e poi ottieni $HK=KH$ avendo fatto vedere nella prima inclusione che se $x\in HK$ allora $x\in KH$ e nella seconda inclusione il viceversa.
Questo modo di procedere lo trovo più standard e meno intricato e soprattutto non sfrutto cose che non conosco come ad esempio come sia una generica $x\in R$.
Io farei così:
Chiamo $R:=
dim:
$\subseteq$) $rHr^-1 \subseteq H$ $\forall r \in R$. Sia $x\in HK$ allora $\exists h\in H, \exists k \in K$ tali che $x=hk=k(k^-1hk)$ ma $k\in R$ allora $x=kh'$ dove $h'\in H$ per normalità.
L'altra inclusione sfrutta la stessa idea e poi ottieni $HK=KH$ avendo fatto vedere nella prima inclusione che se $x\in HK$ allora $x\in KH$ e nella seconda inclusione il viceversa.
Questo modo di procedere lo trovo più standard e meno intricato e soprattutto non sfrutto cose che non conosco come ad esempio come sia una generica $x\in R$.
Si, forse ho capito.
Ci sta solo un punto che non mi è molto chiaro.
Quando dici
Forse perché $H cup K subseteq R$ quindi, prendendo $k in K$ segue l'implicazione.
Se è cosi mi è tutto chiaro.
Ci sta solo un punto che non mi è molto chiaro.
Quando dici
"Isaac888":mi chiedo perché l'elemento $k in K to k in R.$
$ \subseteq $) $ rHr^-1 \subseteq H $ $ \forall r \in R $. Sia $ x\in HK $ allora $ \exists h\in H, \exists k \in K $ tali che $ x=hk=k(k^-1hk) $ ma $ k\in R $ allora $ x=kh' $ dove $ h'\in H $ per normalità.
Forse perché $H cup K subseteq R$ quindi, prendendo $k in K$ segue l'implicazione.
Se è cosi mi è tutto chiaro.
"Yuyu_13":
perché l'elemento $k \in K \rightarrow k \in R.$
Forse perché $H \cup K \subseteq R$ quindi, prendendo $k \in K$ segue l'implicazione.
Se è cosi mi è tutto chiaro.
Se con
[tex]R:=\langle H\cup K\rangle[/tex]
hai denotato il più piccolo sottogruppo di [tex]G[/tex] che contiene [tex]H\cup K[/tex], allora necessariamente [tex]R[/tex] contiene ogni elemento di [tex]K[/tex] (e di [tex]H[/tex]). Non sei convinta?
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