Caratterizzazione dell'iniettività.
Buonasera dovrei provare la seguente caratterizzazione dell'iniettività.
Sia $f:S to T$ e $A,B subseteq S$ con $f$ iniettiva, si ha $f(A cap B)=f(A)capf(B)$
Procedo cosi, ditemi dove sbaglio,
"$subseteq$"
Proprietà
$g:Y to O$ siano $Q,E subseteq Y$ risulta: $Q subseteq E \ to \ g(Q) subseteq g(E)$
Allora:
$A cap B subseteq A \ to f(AcapB)subseteq f(A)$
$AcapBsubseteqB\to\f(AcapB)subseteqf(B)$
quindi infine:
$f(AcapB)subseteq f(AcapB)capf(AcapB)subseteq f(A)capf(B) tof(AcapB)subseteq f(A)capf(B)$
"$supseteq$"
$y in f(A) capf(B) \ to\ y in f(A), y in f(B) \to\ exists a in A:y=f(a) \qquad exists b in B:y=f(b)$
Poichè $f$ è iniettiva,quindi consideriamo $a in A,\ b in B$, da $f(a)=f(b) leftrightarrow y=f(b) \ to a=b$ allora $b in AcapB \:\ y=f(b) to y in f(AcapB).$
Ciao
Sia $f:S to T$ e $A,B subseteq S$ con $f$ iniettiva, si ha $f(A cap B)=f(A)capf(B)$
Procedo cosi, ditemi dove sbaglio,
"$subseteq$"
Proprietà
$g:Y to O$ siano $Q,E subseteq Y$ risulta: $Q subseteq E \ to \ g(Q) subseteq g(E)$
Allora:
$A cap B subseteq A \ to f(AcapB)subseteq f(A)$
$AcapBsubseteqB\to\f(AcapB)subseteqf(B)$
quindi infine:
$f(AcapB)subseteq f(AcapB)capf(AcapB)subseteq f(A)capf(B) tof(AcapB)subseteq f(A)capf(B)$
"$supseteq$"
$y in f(A) capf(B) \ to\ y in f(A), y in f(B) \to\ exists a in A:y=f(a) \qquad exists b in B:y=f(b)$
Poichè $f$ è iniettiva,quindi consideriamo $a in A,\ b in B$, da $f(a)=f(b) leftrightarrow y=f(b) \ to a=b$ allora $b in AcapB \:\ y=f(b) to y in f(AcapB).$
Ciao
Risposte
La prima parte OK.
Per la seconda dovresti scriverla meglio, ma tutto sommato OK.
Per la seconda dovresti scriverla meglio, ma tutto sommato OK.
"gugo82":
La prima parte OK.
Per la seconda dovresti scriverla meglio, ma tutto sommato OK.
Quì non riesco a formalizzare, penso che il primo e il terzo rigo della seconda parte siano buoni, invece il secondo non è molto corretto, non saprei come formallizarlo.
Qualche consiglio ?
Una cosa simile: visto che $f(a)=y=f(b)$, allora $a=b$ per iniettività di $f$; dunque $y=f(a)$ con $a in A nn B$ e perciò $y in f(A nn B)$.
Riprendo questo mio topic, ma mi vengono i dubbi di volta in volta che le rifaccio sorry..
Se volissi dimostrare l'implicazione opposta, cioè
Siano $f:S to T$ e $X,Y subseteq S$ diversi dall'insieme vuoto, provare:
$f(XcapY)=f(X)capf(Y) \to\ "f iniettiva."$
Ho provato cosi:
P.A. $f$ non sia iniettiva, quindi
$exists x,y in S\:\ f(x)=f(y) qquad "e" qquad x ne y.$
Poiché:
$f(x)={f(x)}$ e $f(y)={f(y)}$, posso considerare
$a in {f(x)}={f(y)} \ to a in {f(x)}cap{f(y)} \ to qquad "hp." \ to qquad a in f({x}cap{y})$
dalla definizione di insieme immagine, abbiamo
$exists b in {x}cap{y} \:\ f(b)=a leftrightarrow b in {x} qquad "e" qquad b in{y} \:\ f(b)=a$
$b\=\x qquad "e" qquad b\=\y quad \:\ f(b)=a \ to x=y qquad "assurdo".$
Potrebbe andare bene ?
Ciao
Se volissi dimostrare l'implicazione opposta, cioè
Siano $f:S to T$ e $X,Y subseteq S$ diversi dall'insieme vuoto, provare:
$f(XcapY)=f(X)capf(Y) \to\ "f iniettiva."$
Ho provato cosi:
P.A. $f$ non sia iniettiva, quindi
$exists x,y in S\:\ f(x)=f(y) qquad "e" qquad x ne y.$
Poiché:
$f(x)={f(x)}$ e $f(y)={f(y)}$, posso considerare
$a in {f(x)}={f(y)} \ to a in {f(x)}cap{f(y)} \ to qquad "hp." \ to qquad a in f({x}cap{y})$
dalla definizione di insieme immagine, abbiamo
$exists b in {x}cap{y} \:\ f(b)=a leftrightarrow b in {x} qquad "e" qquad b in{y} \:\ f(b)=a$
$b\=\x qquad "e" qquad b\=\y quad \:\ f(b)=a \ to x=y qquad "assurdo".$
Potrebbe andare bene ?
Ciao
Questo esercizio su una condizione equivalente all'iniettività formulata attraverso il preservare le intersezioni finite, oppure il passaggio al complementare, è stato risolto a dir poco almeno altre tre volte. Sempre nello stesso modo. Sempre chiedendo le stesse cose.
Che senso ha questa ridondanza? Non si fa prima a leggere quei thread?
Che senso ha questa ridondanza? Non si fa prima a leggere quei thread?
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