Caratterizzazione della suriettività.
Siano $S,T$ inisiemi non vuoti. Provare che:
Prima implicazione
$f$ suriettiva se, e soltanto se $f^(-1)({y}) ne emptyset $ per ogni $y in T.$
Sia $emptyset=X subseteq T$ allora
$f:S to T$ è suriettiva se e soltanto se per ogni coppia $X,Y $ sottoinsiemi di $T$ da $f^(-1)(X) subseteq f^(-1)(Y) to X subseteq Y$
Prima implicazione
$f$ suriettiva se, e soltanto se $f^(-1)({y}) ne emptyset $ per ogni $y in T.$
Sia $emptyset=X subseteq T$ allora
$emptyset=f^(-1)(emptyset) subseteq f^(-1)({y}) ne emptyset \ to \ emptyset subseteq {y}.$
Va bene la prima ?
Risposte
L'insieme vuoto è ovviamente contenuto in ogni insieme, quindi la conclusione a cui sei arrivato non prova nulla.
Ti do una dritta: procedi per assurdo partendo da questa
Ti do una dritta: procedi per assurdo partendo da questa
"Pasquale 90":.
f suriettiva se, e soltanto se $f^−1({y})≠∅$ per ogni $y∈T.$
Ciao Mario9555, prima di iniziare ti auguro un buon anno 
Se ho capito bene, tu mi stai dicendo che dovrei procedere nel seguente modo:
arrivando ad assurdo con \(\displaystyle f^{-1}{({{y}})} \ne\emptyset \) per $y in T.$
Se \(\displaystyle X\not\subseteq Y \) allora $exists x in X \:\ x notin Y$ quindi siano $X={x,y}$ e $Y={y}$, si ha
siamo nel caso in cui: siano $A,B$ insiemi qualunque $A cup B subseteq B \to\ A=emptyset $, per cui $f^(-1)({x}) = emptyset$, quindi assurdo.
Cosi ??
Se ho capito bene, tu mi stai dicendo che dovrei procedere nel seguente modo:
\(\displaystyle f \ \mbox{su.} \ \to \ \forall X,Y \subseteq T \ \mbox{da} \ f^{-1}(X) \subseteq f^{-1}(Y) \not\to X \subseteq Y \)
arrivando ad assurdo con \(\displaystyle f^{-1}{({{y}})} \ne\emptyset \) per $y in T.$
Se \(\displaystyle X\not\subseteq Y \) allora $exists x in X \:\ x notin Y$ quindi siano $X={x,y}$ e $Y={y}$, si ha
$f^(-1)(X) subseteq f^(-1)(Y) \ leftrightarrow \ f^(-1)({x,y}) subseteq f^(-1)({y}) leftrightarrow f^(-1)({x} cup {y}) subseteq f^(-1)({y})$
allora $f^(-1)({x} cup {y}) subseteq f^(-1)({y})=f^(-1)({x})cupf^(-1)({y}) subseteq f^(-1)({y})$
siamo nel caso in cui: siano $A,B$ insiemi qualunque $A cup B subseteq B \to\ A=emptyset $, per cui $f^(-1)({x}) = emptyset$, quindi assurdo.
Cosi ??
"Pasquale 90":
Ciao Mario9555, prima di iniziare ti auguro un buon anno
Buon anno anche a te.
"Pasquale 90":
Se ho capito bene, tu mi stai dicendo che dovrei procedere nel seguente modo:
$f su. → ∀X,Y⊆T da f−1(X)⊆f−1(Y)↛X⊆Y$
No...Tu devi dimostrare la seguente implicazione
$(∀X,Y⊆T, f^(−1)(X)⊆f^(−1)(Y)=>X sube Y)=>f su$
Quindi se vuoi procedere per assurdo, devi negare la tesi, ovvero devi negare che f è suriettiva. Come hai detto sopra
$f su <=> AA y in T, f^(-1)({y})!=O/$
Quindi, qual è la negazione di $AA y in T, f^(-1)({y})!=O/$ ?
Scusami, ma io devo dimostrare che:
Ip. $f$ è suriettiva
Th. $ (∀X,Y⊆T, f^(−1)(X)⊆f^(−1)(Y)=>X sube Y) $
Procedere per assurdo significa dire che devo negare la tesi e arrivare ad una contradizione dell'ipotesi.
Ip. $f$ è suriettiva
Th. $ (∀X,Y⊆T, f^(−1)(X)⊆f^(−1)(Y)=>X sube Y) $
Procedere per assurdo significa dire che devo negare la tesi e arrivare ad una contradizione dell'ipotesi.
In realtà devi dimostrare entrambe le implicazioni (osserva, c'è scitto "se e soltanto se"). Nel primo post, tu hai cercato di dimostrare prima questa:
$(AA X,YsubeT, f^(-1)(X)subef^(-1)^(Y)=>XsubeY)=>f su$
$(AA X,YsubeT, f^(-1)(X)subef^(-1)^(Y)=>XsubeY)=>f su$
Si ho osservato che è presente la locuzione "se e soltanto se " il che significa doppia implicazione, invece, questa $f su <=> f^(-1)({y}) ne emptyset, \ forall y in T$ con $f:S to T,$ lo usata sia nel primo che nel terzo, ma è un ulteriore proprietà della suriettività. In particolare ho sfruttato questa proprietà perchè è comoda essendo presente la doppia implicazione, cioè se so che $f$ è suriettiva allora $f^(-1)({y}) ne emptyset.$
Comunque, se vuoi dimostrare questa implicazione
$f su=>(AA X,Y sube T, f^(-1)(X)subef^(-1)(Y)=>X sube Y$
devi considerare due qualsiasi sottoinsiemi $X,Y$ di $T$, tali che $f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)$, e, nell'ipotesi che f è suriettiva, devi dimostrare che $X sube Y$. Quindi, considera un $y in X$. Per la suriettività di $f$ esiste...(continua tu)
P.S. Se conosci questa proprietà
$f su <=> f(f^(-1)(Y))=Y ,AA Y sube T$
la dimostrazione è ancora più immediata.
$f su=>(AA X,Y sube T, f^(-1)(X)subef^(-1)(Y)=>X sube Y$
devi considerare due qualsiasi sottoinsiemi $X,Y$ di $T$, tali che $f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)$, e, nell'ipotesi che f è suriettiva, devi dimostrare che $X sube Y$. Quindi, considera un $y in X$. Per la suriettività di $f$ esiste...(continua tu)
P.S. Se conosci questa proprietà
$f su <=> f(f^(-1)(Y))=Y ,AA Y sube T$
la dimostrazione è ancora più immediata.
"mario9555":
$f su <=> f(f^(-1)(Y))=Y ,AA Y sube T$
la dimostrazione è ancora più immediata.
Si, essendo che
$***$ $forall \W_1,\ W_2 in S$ con $W_1 subseteq W_2$ si ha $f(W_1)subseteq f(W_2)$,
quindi siano $X,Y subseteq T$ tali che $f^(-1)(X) subseteq f^(-1)(Y)$ allora dalla proprietà citata da te e da $***$ si ha $X subseteq Y$ cioè la tesi.
Se invece consideriamo
"mario9555":
$ f su=>(AA X,Y sube T, f^(-1)(X)subef^(-1)(Y)=>X sube Y $
devi considerare due qualsiasi sottoinsiemi $ X,Y $ di $ T $, tali che $ f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y) $, e, nell'ipotesi che f è suriettiva, devi dimostrare che $ X sube Y $. Quindi, considera un $ y in X $. Per la suriettività di $ f $ esiste...(continua tu).
sia pertanto $y in Xsubseteq T$ dall'ipotesi di suriettività abbiamo:
$exists x in S\:\ y=f(x) in X to x in f^(-1)(X) to x in f^(-1)(Y) <=> x in S \:\ y=f(x) in Y$ cioè $y in Y.$
Va bene ?
Ok
Ti ringrazio per il suggerimento $f(f^(-1)(Y))$.
Comunque, dove non va bene la dimostrazione che ho dato nel terzo messaggio ?
Comunque, dove non va bene la dimostrazione che ho dato nel terzo messaggio ?
La negazione di
$AA X,Y subeT : f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)=>X sube Y$
è
$EE X,Y sube T: f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)$ e $X$ non è contenuto in $Y$.
Quindi, se $y$ è un elemento della differenza $X-Y$, per la suriettività di $f$, esiste $x in S$ tale che $f(x)=y$, per cui $x in f^(-1)(X-Y)=f^(-1)(X)-f^(-1)(Y)$, assurdo, essendo $f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)$
$AA X,Y subeT : f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)=>X sube Y$
è
$EE X,Y sube T: f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)$ e $X$ non è contenuto in $Y$.
Quindi, se $y$ è un elemento della differenza $X-Y$, per la suriettività di $f$, esiste $x in S$ tale che $f(x)=y$, per cui $x in f^(-1)(X-Y)=f^(-1)(X)-f^(-1)(Y)$, assurdo, essendo $f^(-1)(X) sube f^(-1)(Y)$
Ti ringrazio per l'aiuto.
Invece, se volessi dimostrare l'altra implicazione, senza sfruttare la proprietà citata da te, cioè
$ f:S to T$ siano $X,Y subseteq T$ essendo che, per ipotesi vale l'implicazione $f^(-1)(X) subseteq f^(-1)(Y) to X subseteq Y$,
dobbiamo far vedere che $f$ è suriettiva, ossia dobbiamo provare che:
Invece, se volessi dimostrare l'altra implicazione, senza sfruttare la proprietà citata da te, cioè
$ f:S to T$ siano $X,Y subseteq T$ essendo che, per ipotesi vale l'implicazione $f^(-1)(X) subseteq f^(-1)(Y) to X subseteq Y$,
dobbiamo far vedere che $f$ è suriettiva, ossia dobbiamo provare che:
$forall \ y in T, \ exists x in X \:\ y=f(x)$,
basta supporre che $f^(-1)(X) ne emptyset$ e si ha la tesi, oppure prendere come sottoinsieme $T subseteq T$ ?
Come già ti ho risposto in precedenza, procedi per assurdo. Qual è la negazione di
$AA y in T, f^(-1)({y})!=O/$ ?
Una volta trovata, sfrutti l'ipotesi
$AA X,Y sube T, f^(-1)(X)subef^(-1)(Y)=>X sube Y$
$AA y in T, f^(-1)({y})!=O/$ ?
Una volta trovata, sfrutti l'ipotesi
$AA X,Y sube T, f^(-1)(X)subef^(-1)(Y)=>X sube Y$
Mario9555 buongiorno,
allora per Ip. abbiamo che
ma ${y} subseteq Y <=> y in Y$ assurdo
"mario9555":
Qual è la negazione di
$ AA y in T, f^(-1)({y})!=O/ $ ?
$EE y in T-(X cap Y) \:\ f^(-1)({y}) = emptyset <=> not EE x in S \:\ y=f(x) in {y} <=> not EE x in S \:\ y in {y} $
allora per Ip. abbiamo che
$f^(-1)({y}) subseteq f^(-1)(Y) \ to \ {y} subseteq Y$
ma ${y} subseteq Y <=> y in Y$ assurdo
$ EE y in T-(X cap Y) \:\ f^(-1)({y}) = emptyset <=> not EE x in S \:\ y=f(x) in {y} <=> not EE x in S \:\ y in {y} $
Chi sono $X$ e $Y$?. Quando hai ipotesi con il quantificatore universale $AA$, come in questo caso
$AA X,Y sube T, f^(-1)(X)sube f^(-1)(Y)=>X sube Y$
$X$ e $Y$ rappresentano generici sottoinsiemi di $T$, cioè non sono caratterizzati. Devi essere tu a sceglierli opportunamente, in modo da arrivare alla tesi, o ad un assurdo, in questo caso.
Quindi, ritornando alla domanda che ti ho posto, la negazione è:
$EE y in T: f^(-1)({y})=O/$
Si ha quindi:
$f^(-1)({y})=f^(-1)(O/)<=>f^(-1)({y})subef^(-1)(O/),f^(-1)(O/)subef^(-1)({y})$
e quindi per ipotesi:
${y}=O/$,
assurdo. Osserva che in questo caso abbiamo scelto $X={y}, Y=O/$.
"Pasquale 90":
$∃y∈T−(X∩Y): f−1({y})=∅$
Chi sono $X$ e $Y$?. Quando hai ipotesi con il quantificatore universale $AA$, come in questo caso
$AA X,Y sube T, f^(-1)(X)sube f^(-1)(Y)=>X sube Y$
$X$ e $Y$ rappresentano generici sottoinsiemi di $T$, cioè non sono caratterizzati. Devi essere tu a sceglierli opportunamente, in modo da arrivare alla tesi, o ad un assurdo, in questo caso.
Quindi, ritornando alla domanda che ti ho posto, la negazione è:
$EE y in T: f^(-1)({y})=O/$
Si ha quindi:
$f^(-1)({y})=f^(-1)(O/)<=>f^(-1)({y})subef^(-1)(O/),f^(-1)(O/)subef^(-1)({y})$
e quindi per ipotesi:
${y}=O/$,
assurdo. Osserva che in questo caso abbiamo scelto $X={y}, Y=O/$.
Scusami, ma se aggiungo le seguenti condizioni, dovrebbe andare bene, cioè
per ipotesi $X,Y subseteq T$ allora $X cap Y subseteq T$, quindi possiamo distinguere due casi:
1) $X cap Y = emptyset$
2) $X cap Y ne emptyset$
precisamo che necessariamente si ha ${y} subseteq T, {y} ne emptyset$, quindi, prendendo la dimostrazione data precedentemente, ossia
per Ip. abbiamo ${y}\ ,\ (X cap Y) subseteq T$ allora,
sia nel caso 1) e nel caso 2) si ha un'assurdità.
per ipotesi $X,Y subseteq T$ allora $X cap Y subseteq T$, quindi possiamo distinguere due casi:
1) $X cap Y = emptyset$
2) $X cap Y ne emptyset$
precisamo che necessariamente si ha ${y} subseteq T, {y} ne emptyset$, quindi, prendendo la dimostrazione data precedentemente, ossia
$f$ non su. allora $exists y in T-(XcapY) : f^(-1)({y}) = emptyset <=> not EE x in S \: \ f(x) in {y}$
per Ip. abbiamo ${y}\ ,\ (X cap Y) subseteq T$ allora,
$f^(-1)({y}) subseteq f^(-1)(X cap Y) \ to \ {y} subseteq (XcapY)$
sia nel caso 1) e nel caso 2) si ha un'assurdità.
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