Caratterizzazione dei prodotti in \( \mathsf{Top} \) e in \( \mathsf{Mod}_k \)
\( \newcommand{\abs}[1]{\lvert{#1}\rvert} \)Una cosa che non ho mai capito dei prodotti in certe categorie è questa.
Se \( \mathsf C \) è una categoria, e \( X,Y \) sono due oggetti di \( \mathsf C \), un prodotto di \( A \) per \( B \) è il dato di un diagramma \( A\leftarrow P\rightarrow B \) universale in senso opportuno tra tutti i diagrammi del genere.
Ora. In alcune categorie concrete, per il prodotto categoriale di due oggetti vale una proprietà simile, ma non uguale, alla proprietà universale del prodotto. La illustro con due esempi (nel seguito denoto con \( \abs{{-}} \) il funtore che dimentica verso \( \mathsf{Set} \)).
(Un altro caso dove vale 'sta cosa è la categoria degli spazi e delle applicazioni misurabili).
Mi stavo chiedendo quale fosse la relazione tra questa proprietà, che apparentemente vale solo in alcune categorie e non in altre, e la definizione generale di prodotto.
P.S. Prendo in esame i prodotti perché sono un esempio semplice. Avrei potuto prendere un altro tipo di limite ma secondo me complicava troppo le notazioni per nulla.
Se \( \mathsf C \) è una categoria, e \( X,Y \) sono due oggetti di \( \mathsf C \), un prodotto di \( A \) per \( B \) è il dato di un diagramma \( A\leftarrow P\rightarrow B \) universale in senso opportuno tra tutti i diagrammi del genere.
Ora. In alcune categorie concrete, per il prodotto categoriale di due oggetti vale una proprietà simile, ma non uguale, alla proprietà universale del prodotto. La illustro con due esempi (nel seguito denoto con \( \abs{{-}} \) il funtore che dimentica verso \( \mathsf{Set} \)).
In \( \mathsf{Top} \).
Sia \( (X_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di spazi topologici. Sia \( \prod_{i\in I}X_i\xrightarrow{\pi_j}X_j \) un loro prodotto categoriale. Sia \( Z \) uno spazio topologico. Una funzione di insiemi \( f\colon \abs Z\to \abs{\prod_{i\in I}X_i} \) è continua se e solo se è continua ogni funzione \( \abs{\pi_j}\circ \abs{f}\colon \abs Z\to \abs{X_j} \).
In \( \mathsf{Mod}_k \) per \( k \) anello commutativo fissato.
Sia \( (M_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di \( k \)-moduli. Sia \( \prod_{i\in I}M_i\xrightarrow{\pi_j}M_j \) un loro prodotto categoriale. Sia \( N \) un \( k \)-modulo. Una funzione di insiemi \( f\colon \abs N\to \abs{\prod_{i\in I}M_i} \) è lineare se e solo se è lineare ogni funzione \( \abs{\pi_j}\circ \abs{f}\colon \abs N\to \abs{M_j} \).
(Un altro caso dove vale 'sta cosa è la categoria degli spazi e delle applicazioni misurabili).
Mi stavo chiedendo quale fosse la relazione tra questa proprietà, che apparentemente vale solo in alcune categorie e non in altre, e la definizione generale di prodotto.
P.S. Prendo in esame i prodotti perché sono un esempio semplice. Avrei potuto prendere un altro tipo di limite ma secondo me complicava troppo le notazioni per nulla.
Risposte
Non è una proprietà dei prodotti, ma dei funtori dimenticanti verso Set. Quello da Top è un funtore topologico, quello da Mod è monadico.
Ok, grazie! Mi pareva che per \( \mathsf{Top} \) fosse una conseguenza del fatto che il dimenticante è topologico, ma mi ha confuso il fatto che la stessa cosa valesse per \( \mathsf{Mod}_k \) (questo, unito al fatto che non ho mai letto niente sulle monadi).
Il punto è che un funtore topologico crea i limiti (e i colimiti: 7.3.8 di Borceux II), e un funtore monadico crea i limiti (4.3.1 ibid). Sorprendentemente, la piccola differenza tra i funtori topologici e quelli monadici è solo che i topologici non riflettono gli isomorfismi (le altre condizioni del teorema di Beck sono abbondantemente verificate: un funtore topologico ha un aggiunto sinistro, ma anche uno destro, e crea non solo i colimiti che diventano coequalizzatori assoluti quando applichi il funtore, ma tutti i colimiti).
Il fatto che \(U : {\sf Top} \to {\sf Set}\) sia molto lontano dal riflettere gli isomorfismi (e anzi, "sopra" l'identità di un insieme della forma $U(X,\tau)$ ci sia tutto il poset delle topologie più fini di \(\tau\)) è sufficiente a rendere \(\sf Top\) molto lontana dall'essere monadica su \(\sf Set\).
Il fatto che \(U : {\sf Top} \to {\sf Set}\) sia molto lontano dal riflettere gli isomorfismi (e anzi, "sopra" l'identità di un insieme della forma $U(X,\tau)$ ci sia tutto il poset delle topologie più fini di \(\tau\)) è sufficiente a rendere \(\sf Top\) molto lontana dall'essere monadica su \(\sf Set\).
\( \newcommand{\abs}[1]{\lvert{#1}\rvert} \)Ok. C'è ancora qualcosa che mi confonde per quanto riguarda i colimiti (adesso uso i coprodotti come esempio).
In \( \mathsf{Top} \) è vero che se \( (X_i)_{j\in J} \) sono spazi topologici e \( \iota^i\colon X_i\to \coprod_{j\in J}X_j \) è un loro coprodotto, per ogni spazio topologico \( Z \) e per ogni funzione di insiemi \( f\colon \abs{\coprod_{j\in J}X_j}\to \abs Z \), \( f \) è continua se e solo se sono continue le composizioni \( f\circ \abs{\iota^i}\colon \abs{X_i}\to \abs Z \).
Per dimostrare questo si usa più o meno direttamente la proprietà universale del coprodotto (è una proprietà della topologia finale, e un coprodotto \( \iota^i\colon X_i\to \coprod_{j\in J}X_j \) in \( \mathsf{Top} \) indossa necessariamente la topologia finale rispetto alle \( \abs{\iota^i} \); quest'ultima affermazione segue dalla definizione di coprodotto, appunto).
In \( \mathsf{Mod}_k \) invece, se \( (M_j)_{i\in J} \) sono \( k \)-moduli e \( \iota^i\colon M_i\to \bigoplus_{j\in J}M_j \) è un loro coprodotto, non è vero che che per ogni \( k \)-modulo \( N \) e per ogni funzione di insiemi \( f\colon \abs{\bigoplus_{j\in J}M_j}\to \abs N \), \( f \) è lineare se e solo se sono lineari le composizioni \( f\circ \abs{\iota^i}\colon \abs{M_i}\to \abs N \).
Questo centra col fatto che \( \abs{{-}}\colon \mathsf{Mod}_k\to \mathsf{Set} \) è monadico e non topoogico?
Scusa per tutte 'ste domande: sto cercando di capire cosa implica cosa ma è un casino.
Provo a fare una specie di tabella.
Limiti: 1) sia in \( \mathsf{Top} \) che in \( \mathsf{Mod}_k \), se ho un limite, allora questo soddisfa quella caratterizzazione col "sse" della quale stiamo discutendo perché il dimenticante è topologico/monadico; 2) se volessi dimostrare che un qualche diagramma di spazi topologici/moduli è un limite, mi sarebbe sempre sufficiente dimostrare che soddisfa a questa proprietà col "sse".
Colimiti: In \( \mathsf{Top} \) sia 1) che 2) valgono. In \( \mathsf{Mod}_k \) né 1) né 2) valgono?
In \( \mathsf{Top} \) è vero che se \( (X_i)_{j\in J} \) sono spazi topologici e \( \iota^i\colon X_i\to \coprod_{j\in J}X_j \) è un loro coprodotto, per ogni spazio topologico \( Z \) e per ogni funzione di insiemi \( f\colon \abs{\coprod_{j\in J}X_j}\to \abs Z \), \( f \) è continua se e solo se sono continue le composizioni \( f\circ \abs{\iota^i}\colon \abs{X_i}\to \abs Z \).
Per dimostrare questo si usa più o meno direttamente la proprietà universale del coprodotto (è una proprietà della topologia finale, e un coprodotto \( \iota^i\colon X_i\to \coprod_{j\in J}X_j \) in \( \mathsf{Top} \) indossa necessariamente la topologia finale rispetto alle \( \abs{\iota^i} \); quest'ultima affermazione segue dalla definizione di coprodotto, appunto).
In \( \mathsf{Mod}_k \) invece, se \( (M_j)_{i\in J} \) sono \( k \)-moduli e \( \iota^i\colon M_i\to \bigoplus_{j\in J}M_j \) è un loro coprodotto, non è vero che che per ogni \( k \)-modulo \( N \) e per ogni funzione di insiemi \( f\colon \abs{\bigoplus_{j\in J}M_j}\to \abs N \), \( f \) è lineare se e solo se sono lineari le composizioni \( f\circ \abs{\iota^i}\colon \abs{M_i}\to \abs N \).
Questo centra col fatto che \( \abs{{-}}\colon \mathsf{Mod}_k\to \mathsf{Set} \) è monadico e non topoogico?
Scusa per tutte 'ste domande: sto cercando di capire cosa implica cosa ma è un casino.
Provo a fare una specie di tabella.
Limiti: 1) sia in \( \mathsf{Top} \) che in \( \mathsf{Mod}_k \), se ho un limite, allora questo soddisfa quella caratterizzazione col "sse" della quale stiamo discutendo perché il dimenticante è topologico/monadico; 2) se volessi dimostrare che un qualche diagramma di spazi topologici/moduli è un limite, mi sarebbe sempre sufficiente dimostrare che soddisfa a questa proprietà col "sse".
Colimiti: In \( \mathsf{Top} \) sia 1) che 2) valgono. In \( \mathsf{Mod}_k \) né 1) né 2) valgono?
\( \newcommand{\abs}[1]{\lvert{#1}\rvert} \)Aggiungo una domanda.
Siano \( (M_j)_{i\in J} \) sempre \( k \)-moduli e sia \( \iota^i\colon M_i\to \bigoplus_{j\in J}M_j \) sempre un loro coprodotto. Sia \( N \) un \( k \)-modulo e sia \( f\colon \abs{\bigoplus_{j\in J}M_j}\to \abs N \) una funzione di insiemi tale che le composizioni \( f\circ \abs{\iota^i}\colon \abs{M_i}\to \abs N \) siano lineari.
Per la proprietà universale di coprodotto, esiste ed è unica una lineare \( g\colon \bigoplus_{j\in J}M_j\to N \) tale che il diagramma in \( \mathsf{Mod}_k \)
\[
\begin{CD}
{\bigoplus_{j\in J}M_j} @= {\bigoplus_{j\in J}M_j}\\
@A{\iota^i}AA @V{g}VV\\
M_i @>{f\circ \iota^i}>> N
\end{CD}
\] commuti. Però non è vero che esiste un'unica funzione \( h \) tale che il diagramma in \( \mathsf{Set} \) commuti
\[
\begin{CD}
\abs{\bigoplus_{j\in J}M_j} @= \abs{\bigoplus_{j\in J}M_j}\\
@A{\abs{\iota^i}}AA @VhVV\\
\abs{M_i} @>{f\circ \abs{\iota^i}}>> \abs N
\end{CD}
\] commuti, giusto? Quindi non posso dire che \( f = g \) e quindi \( f \) è lineare. Questo potrei farlo in \( \mathsf{Top} \) perché il funtore dimenticante (è rappresentato e quindi) rispetta i colimiti?
Siano \( (M_j)_{i\in J} \) sempre \( k \)-moduli e sia \( \iota^i\colon M_i\to \bigoplus_{j\in J}M_j \) sempre un loro coprodotto. Sia \( N \) un \( k \)-modulo e sia \( f\colon \abs{\bigoplus_{j\in J}M_j}\to \abs N \) una funzione di insiemi tale che le composizioni \( f\circ \abs{\iota^i}\colon \abs{M_i}\to \abs N \) siano lineari.
Per la proprietà universale di coprodotto, esiste ed è unica una lineare \( g\colon \bigoplus_{j\in J}M_j\to N \) tale che il diagramma in \( \mathsf{Mod}_k \)
\[
\begin{CD}
{\bigoplus_{j\in J}M_j} @= {\bigoplus_{j\in J}M_j}\\
@A{\iota^i}AA @V{g}VV\\
M_i @>{f\circ \iota^i}>> N
\end{CD}
\] commuti. Però non è vero che esiste un'unica funzione \( h \) tale che il diagramma in \( \mathsf{Set} \) commuti
\[
\begin{CD}
\abs{\bigoplus_{j\in J}M_j} @= \abs{\bigoplus_{j\in J}M_j}\\
@A{\abs{\iota^i}}AA @VhVV\\
\abs{M_i} @>{f\circ \abs{\iota^i}}>> \abs N
\end{CD}
\] commuti, giusto? Quindi non posso dire che \( f = g \) e quindi \( f \) è lineare. Questo potrei farlo in \( \mathsf{Top} \) perché il funtore dimenticante (è rappresentato e quindi) rispetta i colimiti?
E' complicato da scrivere e i funtori topologici sono una pigna in culo (non se ne occupa più nessuno da trent'anni). Se ti serve a qualcosa parliamone a voce e ti scrivo davanti, altrimenti non avrò mai voglia di espandere di piu questa risposta:
- il dimenticante da Top crea i limiti e i colimiti, e ha aggiunti da ambo i lati, è fedele, perché è topologico (ciascuna di queste proprietà è implicata dalla topologicità);
- il dimenticante da moduli crea solo i limiti, non fa niente di interessante ai colimiti, ed è fedele.
Sembra che i due funtori si somiglino molto, in fondo l'unica proprietà che manca al secondo è di creare i colimiti e di avere un aggiunto destro (quindi non può preservarli, storia lunga). In realtà essere topologico è una proprietà molto forte! Ed eccoci qui a confrontare funtori dimenticanti assai diversi.
(Ho scritto questo prima della nuova domanda che hai aggiunto; la risposta è: sì, i colimiti in una categoria di algebre sono, come amava dire Mac Lane "fatti ammerda" e in generale non c'è un modo di descriverli in termini dei soli limiti nella base. I coprodotti sono un ottimo esempio, ma un esempio veramente eclatante sono i monoidi/gruppi: il coprodotto in monoidi è molto diverso da quello in Set)
- il dimenticante da Top crea i limiti e i colimiti, e ha aggiunti da ambo i lati, è fedele, perché è topologico (ciascuna di queste proprietà è implicata dalla topologicità);
- il dimenticante da moduli crea solo i limiti, non fa niente di interessante ai colimiti, ed è fedele.
Sembra che i due funtori si somiglino molto, in fondo l'unica proprietà che manca al secondo è di creare i colimiti e di avere un aggiunto destro (quindi non può preservarli, storia lunga). In realtà essere topologico è una proprietà molto forte! Ed eccoci qui a confrontare funtori dimenticanti assai diversi.
(Ho scritto questo prima della nuova domanda che hai aggiunto; la risposta è: sì, i colimiti in una categoria di algebre sono, come amava dire Mac Lane "fatti ammerda" e in generale non c'è un modo di descriverli in termini dei soli limiti nella base. I coprodotti sono un ottimo esempio, ma un esempio veramente eclatante sono i monoidi/gruppi: il coprodotto in monoidi è molto diverso da quello in Set)
La morale di questo commento è che siccome antò fa caldo non ho voglia di scrivere tutto con calma, ma ti aiuto volentieri se ci sentiamo a voce e posso scrivere sulla lavagna magica di google meets.
Also, studia le monadi e lascia perdere i funtori topologici.
Also, studia le monadi e lascia perdere i funtori topologici.
Allora, è più complicato di quanto sperassi, come sempre. Se c'avrò le forze vedrò di leggere qualcosa sulle monadi dal Riehl o da B. E forse ti chiedo qualcosa quando mi metto a studiare. (E grz <3)
Non è poi così complicato, semplicemente la risposta alla tua ultima domanda è che il dimenticante U da Mod a Set non fa niente di particolare ai colimiti, e in modo eclatante (non preserva l'iniziale, i coprodotti, etc.).
Del resto questo (il claim coi colimiti) non ha niente a che fare coi funtori topologici o monadici, è semplicemente il fatto che detto dimenticante non è full (c'è pieno di mappe di insiemi tra i carrier di due moduli che non sono lineari).
Il fatto, ora, che tu non possa né sapere che un colimite sopra viene preservato, né che uno sotto viene alzato, né che viene creato, non "segue" da nessun teorema, è semplicemente la conseguenza del fatto che U non preserva/alza/crea alcun colimite.
In effetti si può essere piu precisi, U non fa niente ai colimiti, a parte a una loro classe molto ristretta, cioè i colimiti di diagrammi sopra, che mangiati da U diventano coequalizzatori spezzanti (cioè una classe molto particolare di colimiti assoluti) sotto. Un diagramma del genere si chiama un "coequalizzatore U-split", see here https://ncatlab.org/nlab/show/monadicit ... #statement
Se questo non risponde alla tua domanda, probabilmente non ho capito appieno cosa vuoi sapere.
Del resto questo (il claim coi colimiti) non ha niente a che fare coi funtori topologici o monadici, è semplicemente il fatto che detto dimenticante non è full (c'è pieno di mappe di insiemi tra i carrier di due moduli che non sono lineari).
Il fatto, ora, che tu non possa né sapere che un colimite sopra viene preservato, né che uno sotto viene alzato, né che viene creato, non "segue" da nessun teorema, è semplicemente la conseguenza del fatto che U non preserva/alza/crea alcun colimite.
In effetti si può essere piu precisi, U non fa niente ai colimiti, a parte a una loro classe molto ristretta, cioè i colimiti di diagrammi sopra, che mangiati da U diventano coequalizzatori spezzanti (cioè una classe molto particolare di colimiti assoluti) sotto. Un diagramma del genere si chiama un "coequalizzatore U-split", see here https://ncatlab.org/nlab/show/monadicit ... #statement
Se questo non risponde alla tua domanda, probabilmente non ho capito appieno cosa vuoi sapere.
Con "è complicato gne" intendevo che dovrei capire che significa per un funtore essere monadico, e capire meglio di quanto abbia in mente ora che significa per un funtore alzare/creare/ecc. i limiti, magari vedendo un po' di esempi che non siano \( \mathsf{Top} \), \( \mathsf{Mod}_k \), \( \mathsf{Grp} \). Prima o poi ci dedicherò del tempo ma ora non so quando.
Comunque già capire che una cosa è la proprietà universale dei prodotti, e un'altra è quel fatto che una funzione verso il prodotto di una famiglia di spazi/moduli è continua/lineare sse lo sono le sue componenti, e che non è vero che in una categoria "qualsiasi" una non implica necessariamente l'altra, mi è sufficiente.
Segue un rant che scrivo principalmente per me stesso, non serve che tu lo legga.
EDIT. Ho modificato l'esempio per funzioni da un coprodotto di \( \mathsf{Top} \) con uno più carino.
Comunque già capire che una cosa è la proprietà universale dei prodotti, e un'altra è quel fatto che una funzione verso il prodotto di una famiglia di spazi/moduli è continua/lineare sse lo sono le sue componenti, e che non è vero che in una categoria "qualsiasi" una non implica necessariamente l'altra, mi è sufficiente.
Segue un rant che scrivo principalmente per me stesso, non serve che tu lo legga.
EDIT. Ho modificato l'esempio per funzioni da un coprodotto di \( \mathsf{Top} \) con uno più carino.
La domanda penso che sia questa: prendi una monade \(T : {\cal C} \to{\cal C}\) e il dimenticante
\[
\begin{CD}
{\sf Alg}(T) \\
@VVUV \\
\cal C
\end{CD}
\] Supponiamo che in \(\cal C\) e in \({\sf Alg}(T)\) ci siano i coprodotti; prendiamo una freccia \(f : \coprod_i U X_i\to UY\) sotto e chiediamoci: a che condizioni vale la seguente,
\[
\begin{CD}
{\sf Alg}(T) \\
@VVUV \\
\cal C
\end{CD}
\] Supponiamo che in \(\cal C\) e in \({\sf Alg}(T)\) ci siano i coprodotti; prendiamo una freccia \(f : \coprod_i U X_i\to UY\) sotto e chiediamoci: a che condizioni vale la seguente,
\(f\) è un omomorfismo di $T$-algebre se e solo se lo è ogni composizioneIn assoluta generalità non mi sembra vero nessuno dei due versi: se \(f\) è un omomorfismo di algebre, è nella immagine di $U$, quindi $f=Uf$ (con leggero abuso di notazione), ma come fai ora a sapere che \(u_i\) è pure nell'immagine essenziale di $U$, ovvero che il carrier del coprodotto in \({\sf Alg}(T)\) è proprio il coprodotto dei carrier nelle basi? In effetti questo non è vero, perché dovrebbe implicare che $U$ preserva i coprodotti, ed è pieno di posti dove è falso (e.g., monoidi). Vice versa, diciamo che per qualche motivo magico sappiamo che ciascuna \(f_i : UX_i\to UY\) è un omomorfismo di algebre, la proprietà universale del coprodotto in \({\sf Alg}(T)\) ti dà un unico omomorfismo di algebre \(\coprod (X_i,a_i) \to (Y,y)\) e a questo punto vorresti che questo fosse proprio \(f\). Di nuovo questo non mi sembra vero se $U$ non prserva/riflette i coprodotti.
\[
\begin{CD}
UX_i @>u_i>> \textstyle\coprod UX_i @>f>> UY
\end{CD}
\]
\( \newcommand{\abs}[1]{\lvert{#1}\rvert}\newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)
Comunque mi è venuta in mente un'altra domanda, e te la faccio qui anche se non centra troppo.
Un fatto simile a
Siano \( F_1,\dots,F_m \) spazi normati, e sia \( \pi_k\colon \prod_{i = 1}^m F_i\to F_k \) un loro prodotto (fai, con la norma-\( 1 \)). Sia \( E \) uno spazio normato. Una funzione di insiemi \( f\colon A\subset E\to \prod_{i = 1}^mF_i \) di un aperto \( A \) di \( E \) è differenziabile in un punto \( a\in A \) se e solo se è differenziabile in \( a \) ciascuna componente \( \pi_k\circ f\colon A\to F_k \)
Questo discende sicuramente da qualche proprietà del funtore dimenticante \( U\colon \mathsf{C}\to \mathsf{Set} \). Ma chi è \( \mathsf{C} \) qui?
"megas_archon":Non avrei saputo formularla proprio così, ma sì era quella.
La domanda penso che sia questa [...]
Comunque mi è venuta in mente un'altra domanda, e te la faccio qui anche se non centra troppo.
Un fatto simile a
è il seguente.
In \( \mathsf{Top} \).
Sia \( (X_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di spazi topologici. Sia \( \prod_{i\in I}X_i\xrightarrow{\pi_j}X_j \) un loro prodotto categoriale. Sia \( Z \) uno spazio topologico. Una funzione di insiemi \( f\colon \abs Z\to \abs{\prod_{i\in I}X_i} \) è continua se e solo se è continua ogni funzione \( \abs{\pi_j}\circ f\colon \abs Z\to \abs{X_j} \).
In \( \mathsf{Mod}_k \) per \( k \) anello commutativo fissato.
Sia \( (M_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di \( k \)-moduli. Sia \( \prod_{i\in I}M_i\xrightarrow{\pi_j}M_j \) un loro prodotto categoriale. Sia \( N \) un \( k \)-modulo. Una funzione di insiemi \( f\colon \abs N\to \abs{\prod_{i\in I}M_i} \) è lineare se e solo se è lineare ogni funzione \( \abs{\pi_j}\circ f\colon \abs N\to \abs{M_j} \).
Siano \( F_1,\dots,F_m \) spazi normati, e sia \( \pi_k\colon \prod_{i = 1}^m F_i\to F_k \) un loro prodotto (fai, con la norma-\( 1 \)). Sia \( E \) uno spazio normato. Una funzione di insiemi \( f\colon A\subset E\to \prod_{i = 1}^mF_i \) di un aperto \( A \) di \( E \) è differenziabile in un punto \( a\in A \) se e solo se è differenziabile in \( a \) ciascuna componente \( \pi_k\circ f\colon A\to F_k \)
Questo discende sicuramente da qualche proprietà del funtore dimenticante \( U\colon \mathsf{C}\to \mathsf{Set} \). Ma chi è \( \mathsf{C} \) qui?
...La categoria degli spazi normati?
EH, ho pensato anch'io ai normati puntati ma non è vero, perché 1) \( f \) va da un aperto di un normato in un normato (non chiedo per ovvi motivi che \( A \) sia un sottospazio vettoriale), e 2) \( f \) non è lineare limitata.
Allora probabilmente stai considerando una qualche sottocategoria di Top o di varietà, semplicemente su degli oggetti che sono spazi normati; a fare la categoria sono molto piu i morfismi degli oggetti, quindi se gli oggetti sono TVSs ma i morfismi sono tutte le funzioni continue tra essi, 'sta categoria si comporta praticamente come Top...
"megas_archon":Occhei in effetti ci credo.
a fare la categoria sono molto piu i morfismi degli oggetti, quindi se gli oggetti sono TVSs ma i morfismi sono tutte le funzioni continue tra essi, 'sta categoria si comporta praticamente come Top...
Come conseguenza, il funtore ha quella proprietà perché è topologico (oddio, adesso non sono certo se il dimenticante dalle varietà liscie è topologico, ma insomma, ci siamo capiti).
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