Caratterizzazione degli insiemi finiti $I_n.$

[Yuyu_13]

Buonasera. Ho un dubbio su un passaggio della seguente proposizione.
Per il seguito, $I_0:=emptyset$ e $I_(m+1):=I_m cup {m+1}$ con $m>=0.$

Proposizione:
Non esiste nessuna parte propria $X$ di $I_n$ per cui $X ~ I_n$

Dimostrazione:
Sia $n=0$ si ha $I_0=emptyset$ dunque \(\displaystyle \not\exists \)$X subset I_n$ per cui $X~I_n.$
Sia $m>= 0$, e per ipotesi \(\displaystyle \not\exists \) $X subset T_m$ per cui $X~I_m,$ la tesi è verificare \(\displaystyle \not\exists \) $X subset T_(m+1)$ per cui $X~I_(m+1).$
Per assurdo $exists X subset I_(m+1)$ per cui $X~I_(m+1).$
Si distinguono due casi: 1) $m+1 in X$, 2) $m+1 \notin X$
Non riesco a formalizzare la precedente posizione.

Forse perché, $X subset I_(m+1)=> exists y in I_(m+1) : y \notin X.$
Dunque, per definizione $y in I_m$ oppure $y=m+1.$
1) Se $y in I_m$, allora $1<=y<=m$, e $m+1 in X$ e $y \notin X$.
2) Se $y=m+1$ allora $m+1 \notin X.$

Ma non sono sicuro. Qualcuno potrebbe indicare la strada giusta.

[G.D.5]

Se \(X \subset I_{m+1}\), allora esiste almeno un elemento di \(I_{m+1}\) che non appartiene a \(X\). Questo elemento (non necessariamente unico) potrebbe essere in particolare \(m +1\): nel caso in cui lo sia, hai il caso \(m + 1 \notin X\), nel caso in cui non lo sia, hai il caso \(m + 1 \in X\).

[Yuyu_13]

Ti ringrazio. Continuo con la dimostrazione per completezza.

Sia 1) $m+1 in X$.
Dunque, $X~I_(m+1) => X\\{m+1}~I_(m+1)\\{m+1}=I_m$
Essendo $XsubsetI_(m+1)$ allora esiste $ y in I_(m+1) : y \notin X$ necessariamente $y ne m+1.$
Allora $y in I_m$ e $y \notin X\\{m+1}<=>X\\{m+1}subsetI_m.$
Infine, $X\\{m+1}subsetI_m$ e $X\\{m+1}~I_m$.
Assurdo

Sia 2) $m+1 \notin X$
Allora $XsubseteqI_m.$
Essendo $X~I_(m+1) $ con $m+1>0$ allora $X ne emptyset$, cioè esiste un $b in X.$
Dunque, $X\\{b}~I_(m+1)\\{m+1}=I_m$
Infine $X\\{b}subsetXsubseteqI_m$ e $X\\{b}~I_m.$
Assurdo.

[Alin2]

Scusate ragazzi, ho un dubbio: c'è una regola per cui posso scrivere

Sia $m≥0$, e per ipotesi $ ∄  X⊂T_m$ per cui $X~I_m$, la tesi è verificare $ ∄  X⊂T_(m+1)$ per cui $X~I_(m+1)$
invece di

Sia $m≥0$, e per ipotesi $ ∄  X⊂I_m$ per cui $X~I_m$, la tesi è verificare $ ∄  X⊂I_(m+1)$ per cui $X~I_(m+1)$

Grazie

[G.D.5]

E chi è \(T_{m}\)?
Dove e come è stato definito?
Non è che si tratta di un errore di scrittura/stampa? Perché poi nel resto della dimostrazione che hai riportato non se ne fa menzione: appunti presi male?

[Yuyu_13]

Buongiorno, leggo solo ora il tuo messaggio G.D..
Comunque è un errore di battitura, $T_m$ deve essere visto\sostituito con $I_m.$
Grazie per l'osservazione.

[G.D.5]

Perfetto.
Prego.