Caratteristica di Zn x Zm

[Chiara914]

In generale so che vale car(Zn x Zm)=mcm(n,m). Per dimostrarlo ho pensato di considerare il morfismo da Z a Zn x Zm che manda n in ([n],[n]) e far vedere che il Ker è l'ideale (d) dove d è il mcm(n,m). avrei quindi che Zn x Zm contiene un sottoanelli isomorfo a Zd e quindi la caratteristica è d.
Ora: è facile provare che se x sta in (d) allora x sta nel Ker del morfismo ma non riesco a dimostrare il contrario (ossia che se x sta nel Ker allora x sta in (d)) in modo da ottenere le due inclusioni e ottenere l'uguaglianza (d)=ker. Qualche idea?

[perplesso1]

Ciao. A me la questione sembra più semplice, dal momento che stai lavorando con un anello finito allora la caratteristica coincide con l'ordine del sottoanello generato dall'unità di $ZZ_n xx ZZ_m$ ovvero $<(1,1)>$. Posto $c = mcm(n.m)$ hai che $c(1,1) = ([c]_n,[c]_m)=(0,0)$ ed inoltre se $d$ è un altro intero positivo tale che $d(1,1)=(0,0)$ allora $n|d$ e $m|d$ e per la definizione di mcm $c|d$. Pertanto $c =mcm(n,m)$ è il più piccolo intero tale che $c(1,1)=(0,0)$, cioè la caratteristica del tuo anello.