Caratteristica di un dominio

[aram1]

Salve, ho alcuni dubbi sulla dimostrazione di una proposizione. Sia G un gruppo finito. Sono equivalenti:
a)$|G|=p^n$, $n\geq 1$ con p primo
b)$\forall x\in G, |x|$ è una potenza di p

Dimostrare che b)$\Rightarrow$a) non mi risulta del tutto chiaro. Mi è stato detto di usare il teorema di Cauchy, per il quale si ha che $\forall$ p primo, divisore di $|G|$ $\exists x\in G, |x|=p$. Ma in che modo arrivo a dire che $|G|=p^n$?

[perplesso1]

Supponi che esista un primo $q \ne p$ che divide l'ordine di $G$. Allora per il teorema da te citato esiste un elemento $y$ di ordine $q$, contro l'ipotesi che dice che l'ordine di $y$ deve essere una potenza di $p$. Pertanto l'unico primo che divide $|G|$ è $p$ e quindi $|G|=p^n$ per qualche intero positivo $n$