Caratteristica di un dominio
Dimostrare che la caratteristica di un dominio è 0 o un numero primo.
Ancora prima di pormi il problema di come dimostrare ciò mi sovviene un dubbio..
se char di un anello è quel n tale che n*1=0, e siamo in un dominio (e 1 è diverso da zero), n non sarà soltanto uguale a 0??
altrimenti anche se n fosse un prio sarebbe 1*n che sarebbe diverso da zero!!
Ancora prima di pormi il problema di come dimostrare ciò mi sovviene un dubbio..
se char di un anello è quel n tale che n*1=0, e siamo in un dominio (e 1 è diverso da zero), n non sarà soltanto uguale a 0??
altrimenti anche se n fosse un prio sarebbe 1*n che sarebbe diverso da zero!!
Risposte
Pensa a [tex]\mathbb{Z}_2[/tex] la sua caratteristica è [tex]2[/tex] ed è addirittura un campo!
L'idea è questa:
O il dominio ha caratteristica 0 (e in questo caso non devi fare nulla) oppure ha come caratteristica un numero naturale n
Tu parti dicendo che per assurdo n non è primo, ossia $n=n1*n2$
Poi, sfruttando il fatto che siamo in un dominio di integrità (e dunque usando la condizione che non esistono divisori dello 0) arrivi a dire che...
O il dominio ha caratteristica 0 (e in questo caso non devi fare nulla) oppure ha come caratteristica un numero naturale n
Tu parti dicendo che per assurdo n non è primo, ossia $n=n1*n2$
Poi, sfruttando il fatto che siamo in un dominio di integrità (e dunque usando la condizione che non esistono divisori dello 0) arrivi a dire che...
"Hop Frog":
se char di un anello è quel n tale che n*1=0, e siamo in un dominio (e 1 è diverso da zero), n non sarà soltanto uguale a 0??
altrimenti anche se n fosse un prio sarebbe 1*n che sarebbe diverso da zero!!
Dai un'occhiata alla definizione di caratteristica :
http://it.wikipedia.org/wiki/Caratteristica_(algebra)
continuo a dire che c è qualcosa che non quadra..
tutto quello che mi state dicendo lo so, ma non capisco perchè non vie è cotnraddizione:
guardiamo l esempio che mi avete fatto voi:
In Z/2Z l ordine è 2,
infatti:
(1+2Z) * 2 = (0+2Z),
bene, ma ora abbiamo che a*b=0, e nessuno dei due è 0, come me lo spiegate?
tutto quello che mi state dicendo lo so, ma non capisco perchè non vie è cotnraddizione:
guardiamo l esempio che mi avete fatto voi:
In Z/2Z l ordine è 2,
infatti:
(1+2Z) * 2 = (0+2Z),
bene, ma ora abbiamo che a*b=0, e nessuno dei due è 0, come me lo spiegate?
"Hop Frog":
continuo a dire che c è qualcosa che non quadra..
tutto quello che mi state dicendo lo so, ma non capisco perchè non vie è cotnraddizione:
guardiamo l esempio che mi avete fatto voi:
In Z/2Z l ordine è 2,
infatti:
(1+2Z) * 2 = (0+2Z),
bene, ma ora abbiamo che a*b=0, e nessuno dei due è 0, come me lo spiegate?
Non ho capito bene l'insieme di partenza... Ma in ogni caso penso che non si tratti di un dominio di integrità
Ora ti manca qualcosa della definizione: la caratteristica di un insieme è quel numero naturale [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tale che comunque preso un elemento [tex]\bar x \in D[/tex]del dominio si ha che:
[tex]\displaystyle n \bar x=0[/tex]
detto questo non dovresti avere dei dubbi a riguardo...
[tex]\displaystyle n \bar x=0[/tex]
detto questo non dovresti avere dei dubbi a riguardo...
eh questa questione è sottile, non è da tutti rendersene conto: io ce l'ho ben presente perchè il mio professore l'ha sottolineato:
cos'è la caratteristica di un dominio? è l'ordine additivo dell'elemento neutro della seconda operazione (di solito moltiplicazione) ovvero è un numero naturale, se esiste.
ora, in un campo generico sono definite due operazioni: $+$ e $*$, indichiamole con i simboli soliti.
ma quando hanno senso queste operazioni? quando le applichiamo a elementi del campo, non a elementi generici.
ora, un numero naturale è in generale elemento di un campo? ma certo che no.
ad esempio in $(ZZ_(//2),+,*)$ ha senso dire $c*1=0$, se con $c=2$ intendiamo proprio la caratteristica del campo?
ovvio che no! infatti $c notin ZZ_(//2)$!!!
ma allora come funziona? il fatto è che con la caratteristica si "definisce una nuova operazione", ovvero la somma ripetuta:
diciamo allora che in $ZZ_(//2)$ la caratteristica è $2$ perchè $1+1=0$ e ovviamente $0+0=0$.
se un campo $K$ ha caratteristica $7$ vuol dire che $AA x in K$,$x+x+x+x+x+x+x=bar{0}$ dove $bar{0}$ è il neutro additivo (della prima operazione).
e per comodità indichiamo $x+x+x+x+x+x+x$ con il simbolo $7*x$ che però crea confusione, per i motivi detti prima.
il problema è che siamo portati a identificare una struttura algebrica con un insieme più due somma e prodotto, mentre non è così, le operazioni devono essere intese come generiche. sper di essere stato chiaro, ma chiedi pure se vuoi ulteriori delucidazioni.
cos'è la caratteristica di un dominio? è l'ordine additivo dell'elemento neutro della seconda operazione (di solito moltiplicazione) ovvero è un numero naturale, se esiste.
ora, in un campo generico sono definite due operazioni: $+$ e $*$, indichiamole con i simboli soliti.
ma quando hanno senso queste operazioni? quando le applichiamo a elementi del campo, non a elementi generici.
ora, un numero naturale è in generale elemento di un campo? ma certo che no.
ad esempio in $(ZZ_(//2),+,*)$ ha senso dire $c*1=0$, se con $c=2$ intendiamo proprio la caratteristica del campo?
ovvio che no! infatti $c notin ZZ_(//2)$!!!
ma allora come funziona? il fatto è che con la caratteristica si "definisce una nuova operazione", ovvero la somma ripetuta:
diciamo allora che in $ZZ_(//2)$ la caratteristica è $2$ perchè $1+1=0$ e ovviamente $0+0=0$.
se un campo $K$ ha caratteristica $7$ vuol dire che $AA x in K$,$x+x+x+x+x+x+x=bar{0}$ dove $bar{0}$ è il neutro additivo (della prima operazione).
e per comodità indichiamo $x+x+x+x+x+x+x$ con il simbolo $7*x$ che però crea confusione, per i motivi detti prima.
il problema è che siamo portati a identificare una struttura algebrica con un insieme più due somma e prodotto, mentre non è così, le operazioni devono essere intese come generiche. sper di essere stato chiaro, ma chiedi pure se vuoi ulteriori delucidazioni.
grazie blackbishop stavo proprio ricontrollando le condizioni del dominio perchè mi era venuto proprio questo dubbio..
Il discorso a*b=0 => a=0 o b=0
funziona se a e b son elementi dell insieme, è qui il problema...
giusto.
EDIT: l errore che facevo io era di dire 1*n=0, ma anche se l anello è integro n non appartiene all anello, quindi può essere "quello che vuole"..
Il discorso a*b=0 => a=0 o b=0
funziona se a e b son elementi dell insieme, è qui il problema...
giusto.
EDIT: l errore che facevo io era di dire 1*n=0, ma anche se l anello è integro n non appartiene all anello, quindi può essere "quello che vuole"..
prego, l'importante è che adesso la questione sia ben chiara
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