Caratteristica di un campo e di un dominio
Come posso dimostrare che la caratteristica di un dominio è sempre 0 o un numero primo?
Risposte
Supponi che la caratteristica di $D$ non sia $0$ ma sia un numero intero $c$ non primo. $c = x * y$ allora $c \times 1 = (x * y ) \times 1 = 0$ $\Rightarrow$ $( x \times 1 ) * (y \times 1) = 0$ ...
Riesci a continuare?
Riesci a continuare?
La caratteristica di un dominio e' il (generatore del) nucleo dell'omomorfismo (ce n'e' solo uno) $\mathbb{Z}\to R$. Se $R$ e' un dominio questo ideale e' primo.
Come lo si dimostra che la caratteristica è il generatore di tale nucleo?
E' cosi' per definizione, tu come l'hai definita?
Come l'ordine dell' elemento neutro moltiplicativo nel gruppo additivo. L'omomorfismo che dici tu é associa ad ogni numero intero x l'elemento x*1?
"aram":
Come l'ordine dell' elemento neutro moltiplicativo nel gruppo additivo. L'omomorfismo che dici tu é associa ad ogni numero intero x l'elemento x*1?
E' il morfismo di anelli che associa al numero intero \(1\) l'unità (chiamiamola \(u \)) dell'anello unitario \(A \). Se poi \( n \) è un intero positivo, l'elemento corrispondente di \(A \) è \(u+u+...+u \) per \(n \) volte; mentre all'intero negativo \(-n \) viene associato l'opposto di \(u+u+...+u \).
"aram":
Come l'ordine dell' elemento neutro moltiplicativo nel gruppo additivo. L'omomorfismo che dici tu é associa ad ogni numero intero x l'elemento x*1?
Esatto: quindi vedi che $\ker(\eta:\mathbb Z\to R)$ e' esattamente l'ideale (pricipale perche' di $\mathbb Z$) generato da quell'$n$ minimale tale che $1_R+\cdots +1_R=0_R$; dato che $R$ e'un dominio, $\ker\ \eta$ e' un ideale primo (e questo e' classico).
scusa, ma mi sfugge l'implicazione: R dominio allora ker ideale primo...
"killing_buddha":
quell'$n$ minimale tale che $1_R+\cdots +1_R=0_R$
Da questo si può ricavare la dimostrazione pensando che se tale $n$ che è appunto il più piccolo intero positivo per il quale $1_R+...+1_R=0$ non fosse primo allora avrebbe una fattorizzazione non banale $n=ab$ ed avrei: $0_R=1_R+...+1_R=(1_R+...+1_R)(1_R+...+1_R)$ dove nella prima parentesi gli addendi sono $a$ e nella seconda sono $b$.
A questo punto siccome $R$ è un dominio il fatto che un prodotto sia zero implica che uno dei fattori deve essere zero e quindi $1_R+...+1_R =0_R$ con $a$ addendi, oppure $1_R+...+1_R=0_R$ con $b$ termini; in entrambi i casi contro la minimalità di $n$.
"aram":
scusa, ma mi sfugge l'implicazione: R dominio allora ker ideale primo...
Penso che si riferisse al fatto che se $R$ è un dominio per il teorema di omomorfismo $\mathbb{Z}/(Ker(f)) \cong R$ (isomorfo) e $\mathbb{Z}/(Ker(f))$ è un dominio se e solo se $Ker(f))$ è un ideale primo (non è difficile da dimostrare).
Se mi sbaglio correggetemi.
Beh, il morfismo $\eta$ non e' affatto suriettivo... Diciamo piu' precisamente che dentro un dominio c'e' una copia di $\mathbb Z$,se $\eta$ e' iniettivo, o una copia del campo $\mathbb Z/(p\mathbb Z)$, se $\eta$ ha nucleo $(p)$.
E la dimostrazione va bene, con la precisazione seguente (l'argomento volutamente passa da ideali primi a numeri primi per "semplicita'"): per non violare la minimalita' di $n$ deve essere $a=1$ oppure $b=1$, ergo l'altro termine e' $n$, ergo $n$ e' un numero primo.
E la dimostrazione va bene, con la precisazione seguente (l'argomento volutamente passa da ideali primi a numeri primi per "semplicita'"): per non violare la minimalita' di $n$ deve essere $a=1$ oppure $b=1$, ergo l'altro termine e' $n$, ergo $n$ e' un numero primo.
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