Caratteristica di un Campo
Ragazzi sto preparando un esame di geometria nel quale abbiamo visto che se un campo ha caratteristica nulla allora esso risulta essere infinito. Vale anche il viceversa?
Risposte
Non credo proprio, spero di non dirti una sciocchezza ma mi sembra di aver letto da qualche parte che il campo delle funzioni razionali a coefficienti in $ZZ_p$ è un campo infinito di caratteristica $p$
Il viceversa non vale. La chiusura algebrica di $\ZZ_{p} = \frac{\ZZ}{p \ZZ}$ con $p$ primo è un campo infinito di caratteristica $p$.
Non vorrei sbagliarmi ma credo si tratti del campo che cita anche perplesso. O forse sono soltanto isomorfi, non saprei.
Non vorrei sbagliarmi ma credo si tratti del campo che cita anche perplesso. O forse sono soltanto isomorfi, non saprei.
Il campo che dicevo io sostanzialmente si costruisce così: prendi $Z_p$ fai l'anello dei polinomi $Z_p[x]$ che è un dominio di integrità quindi costruisci il campo dei quozienti $Q(Z_p[x])$ di $Z_p[x]$. Ora siccome $Z_p$ si immerge in $Z_p[x]$ che a sua volta si immerge nel suo campo dei quozienti, deduci che la caratteristica di $Q(Z_p[x])$ è $p$. (Sempre se non sto dicendo scemenze ... ) Potrebbe pure essere isomorfo alla chiusura algebrica di $Z_p$ ma non so come.
Sono molto arrugginito in algebra ma credo che questi campi siano isomorfi. Anche se la mia è solo un'intuizione. Hai citato anelli di polinomi mentre io ho parlato di chiusura algebrica. Le due cose sembrano andare nella stessa direzione. Ma non ho il tempo di cercare conferme formali in questo momento 
Non sono isomorfi, [tex]\mathbb{Z}_p(X)[/tex] è un'estensione trascendente di [tex]\mathbb{Z}_p[/tex], mentre nella chiusura algebrica ogni elemento è algebrico.
Aggiungo un facile esercizio per chi vuole cimentarsi: ogni campo algebricamente chiuso è infinito.
Aggiungo un facile esercizio per chi vuole cimentarsi: ogni campo algebricamente chiuso è infinito.
Così su due piedi direi che se il campo è algebricamente chiuso deve contenere le radici del polinomio $x^n+1$ per ogni $n$. E se il campo non ha caratteristica 2 penso che questo dovrebbe risolvere il problema .. o no?? Boh 
Grazie ragazzi! 
Per l'esercizio di Martino ragionerei così:
Supponiamo P.A. che il campo considerato $F$ sia finito e ammetta $q$ elementi. Se cosidero $p(x)=(x-f_1)* ......*(x-f_q) + 1$ allora deve ammettere tutte le radici nel campo quindi ammetterà una radice $a$, ma allora deve essere una degli $f_i$ il che è assurdo perchè $p(f_i)=1$ e non zero! Che ne dici Martino?
Per l'esercizio di Martino ragionerei così:
Supponiamo P.A. che il campo considerato $F$ sia finito e ammetta $q$ elementi. Se cosidero $p(x)=(x-f_1)* ......*(x-f_q) + 1$ allora deve ammettere tutte le radici nel campo quindi ammetterà una radice $a$, ma allora deve essere una degli $f_i$ il che è assurdo perchè $p(f_i)=1$ e non zero! Che ne dici Martino?
Sì esatto Mrhaha.
I campi da Galois \( \mathbb{F}_{p^n}\) sono campi finiti con \( p^n\) elementi e di caratteristica finita \( p \). \( \mathbb{F}_p \subset \mathbb{F}_{p^2}...\subset \mathbb{F}_{p^n}...\) è una catena ascendente di campi quindi \( K=\cup_{n=1}^{\infty} \mathbb{F}_{p^n}\) è un esempio di campo infinito con caratteristica finita.
"totissimus":Che coincide con la chiusura algebrica di [tex]\mathbb{F}_p[/tex].
I campi da Galois \( \mathbb{F}_{p^n}\) sono campi finiti con \( p^n\) elementi e di caratteristica finita \( p \). \( \mathbb{F}_p \subset \mathbb{F}_{p^2}...\subset \mathbb{F}_{p^n}...\) è una catena ascendente di campi quindi \( K=\cup_{n=1}^{\infty} \mathbb{F}_{p^n}\) è un esempio di campo infinito con caratteristica finita.
Interessante!
"Martino":
Non sono isomorfi, [tex]\mathbb{Z}_p(X)[/tex] è un'estensione trascendente di [tex]\mathbb{Z}_p[/tex], mentre nella chiusura algebrica ogni elemento è algebrico.
Ecco, intuizione errata. Grazie per la precisazione!
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