Caratteristica
Ciao a tutti, chiedo solo una cosa!
come faccio a calcolarmi la caratteristica di questo anello, che non è un campo perchè il polinomio è riducibile?
\( A = \mathbb{Z}_{5}[x]/(x^2 + 1) \)
come faccio a calcolarmi la caratteristica di questo anello, che non è un campo perchè il polinomio è riducibile?
\( A = \mathbb{Z}_{5}[x]/(x^2 + 1) \)
Risposte
La caratteristica è $5$.
"ficus2002":
La caratteristica è $5$.
perchè?
grazie comunque
perché se si considera:
$u:\mathbb Z\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}$,
$i:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]$,
$\pi:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]\rightarrow\frac{\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]}{(x^2+1)}$,
allora $\ker(u)\leq\ker(ui\pi)$, ma $\ker(u)$ è un ideale massimale di $\mathbb Z$ e $ui\pi\ne 0$.
$u:\mathbb Z\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}$,
$i:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]$,
$\pi:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]\rightarrow\frac{\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]}{(x^2+1)}$,
allora $\ker(u)\leq\ker(ui\pi)$, ma $\ker(u)$ è un ideale massimale di $\mathbb Z$ e $ui\pi\ne 0$.
Detto in parole povere, la caratteristica di quell'anello è un divisore di $5$ e, non potendo essere $1$, è $5$.
"ficus2002":
perché se si considera:
$u:\mathbb Z\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}$,
$i:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]$,
$\pi:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]\rightarrow\frac{\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]}{(x^2+1)}$,
allora $\ker(u)\leq\ker(ui\pi)$, ma $\ker(u)$ è un ideale massimale di $\mathbb Z$ e $ui\pi\ne 0$.
e come faccio a dire che quindi la caratteristica è 5?
io pensavo che quozientando con un polinomio riducibile, la caratteristica del quoziente fosse diversa da quella del campo iniziale.
Quanto fa 1+1+1+1+1 nel tuo anello? Fine.
"killing_buddha":
Quanto fa 1+1+1+1+1 nel tuo anello? Fine.
dovresti fare l'insegnante!
grazie