Caratteristica

fabjolie1
Ciao a tutti, chiedo solo una cosa!

come faccio a calcolarmi la caratteristica di questo anello, che non è un campo perchè il polinomio è riducibile?

\( A = \mathbb{Z}_{5}[x]/(x^2 + 1) \)

Risposte
ficus2002
La caratteristica è $5$.

fabjolie1
"ficus2002":
La caratteristica è $5$.


perchè?
grazie comunque

ficus2002
perché se si considera:
$u:\mathbb Z\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}$,
$i:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]$,
$\pi:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]\rightarrow\frac{\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]}{(x^2+1)}$,
allora $\ker(u)\leq\ker(ui\pi)$, ma $\ker(u)$ è un ideale massimale di $\mathbb Z$ e $ui\pi\ne 0$.

ficus2002
Detto in parole povere, la caratteristica di quell'anello è un divisore di $5$ e, non potendo essere $1$, è $5$.

fabjolie1
"ficus2002":
perché se si considera:
$u:\mathbb Z\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}$,
$i:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}\rightarrow\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]$,
$\pi:\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]\rightarrow\frac{\frac{\mathbb Z}{5\mathbb Z}[x]}{(x^2+1)}$,
allora $\ker(u)\leq\ker(ui\pi)$, ma $\ker(u)$ è un ideale massimale di $\mathbb Z$ e $ui\pi\ne 0$.


e come faccio a dire che quindi la caratteristica è 5?
io pensavo che quozientando con un polinomio riducibile, la caratteristica del quoziente fosse diversa da quella del campo iniziale.

killing_buddha
Quanto fa 1+1+1+1+1 nel tuo anello? Fine.

fabjolie1
"killing_buddha":
Quanto fa 1+1+1+1+1 nel tuo anello? Fine.


dovresti fare l'insegnante!
grazie

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