Caratteristica
Ciao a tutti,
ho cercato dovunque, ma non riesco a capire una cosa, se ho un anello con caratteristica n, diversa da 0, ovvero non un campo, e lo quoziento con un polinomio irriducibile di grado p. qual'è la caratteristica del quoziente??
grazie in anticipo
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Algebra.[/xdom]
ho cercato dovunque, ma non riesco a capire una cosa, se ho un anello con caratteristica n, diversa da 0, ovvero non un campo, e lo quoziento con un polinomio irriducibile di grado p. qual'è la caratteristica del quoziente??
grazie in anticipo
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Algebra.[/xdom]
Risposte
Perché dici che un anello con caratteristica $n$ non possa essere un campo? Esistono campi di caratteristica $p$.
Non esistono morfismi non nulli tra anelli di caratteristica differente (cosa che ti invito a dimostrare), quindi la caratteristica di un anello e' uguale alla caratteristica di tutti i suoi quozienti.
"vict85":
Perché dici che un anello con caratteristica $n$ non possa essere un campo? Esistono campi di caratteristica $p$.
intendevo con n non primo!
grazie budda!!!
"killing_buddha":E che mi dici di [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex] ?
Non esistono morfismi non nulli tra anelli di caratteristica differente (cosa che ti invito a dimostrare), quindi la caratteristica di un anello e' uguale alla caratteristica di tutti i suoi quozienti.
Si'. Eppure mi ricordo questo risultato. Forse e' vero solo per i campi?
Coi campi è indubbiamente vero...
comunque stavo per fare il tuo stesso errore kb.
@fabjolie Potresti essere più precis*?
comunque stavo per fare il tuo stesso errore kb.
@fabjolie Potresti essere più precis*?
allora, l'esercizio mi chiede se esiste un morfismo, fra A, un campo di caratteristica prima (7 in questo caso), e un anello quoziente B, di cui volevo sapere la caratteristica: per esistere il morfismo, so che la caratteristica di B deve dividere quella di A.
l'esercizio in particolare chiedeva l'esistenza di un morfismo fra \( A = \mathbb{Z}_{7} \quad \text{e} \quad B = \mathbb{Z}_{14}/(x^2 + 1) \)
l'esercizio in particolare chiedeva l'esistenza di un morfismo fra \( A = \mathbb{Z}_{7} \quad \text{e} \quad B = \mathbb{Z}_{14}/(x^2 + 1) \)
In effetti e' l'integrita' quello che garantisce che il discorso vada bene per i campi.
La caratteristica di un anello integro $R$ e' sempre un primo, perche' il morfismo universale $\mathbb Z\to R$ deve avere per nucleo un ideale primo, ovvero essere generato da un primo di $\mathbb Z$. Allora se uno suppone che ci sia $f : R_p \to S_q$ (indico a pedice la caratteristica) non nullo, allora deve succedere che
La caratteristica di un anello integro $R$ e' sempre un primo, perche' il morfismo universale $\mathbb Z\to R$ deve avere per nucleo un ideale primo, ovvero essere generato da un primo di $\mathbb Z$. Allora se uno suppone che ci sia $f : R_p \to S_q$ (indico a pedice la caratteristica) non nullo, allora deve succedere che
- [tex]\xymatrix{
\mathbb Z\ar[r]^{\eta_R}\ar[d]_{\eta_S} & R\ar[dl]^f\\
S
}[/tex][/list:u:13n7k66d]
commuta (per l'universalita') e dunque $f(\eta_R(p))=\eta_S(p)=0$, dunque uno divide l'altro, ma questo e' assurdo. []
Un appunto: scrivere $Z_{14}/(x^1+1)$ non ha alcun senso: casomai starai facendo $\frac{Z_{14}[x]}{(x^2+1)}$...
sisi intendevo \( \mathbb{Z}_{14}[x]/(x^2 +1) \)
quindi la caratteristica di B che è 14, non divide quella di A che è 7, e quindi non esiste un tale morfismo! giusto?
quindi la caratteristica di B che è 14, non divide quella di A che è 7, e quindi non esiste un tale morfismo! giusto?
"killing_buddha":
In effetti e' l'integrita' quello che garantisce che il discorso vada bene per i campi.
La caratteristica di un anello integro $R$ e' sempre un primo, perche' il morfismo universale $\mathbb Z\to R$ deve avere per nucleo un ideale primo, ovvero essere generato da un primo di $\mathbb Z$. Allora se uno suppone che ci sia $f : R_p \to S_q$ (indico a pedice la caratteristica) non nullo, allora deve succedere che
[tex]\xymatrix{
\mathbb Z\ar[r]^{\eta_R}\ar[d]_{\eta_S} & R\ar[dl]^f\\
S
}[/tex][/list:u:10wxksbv]
commuta (per l'universalita') e dunque $f(\eta_R(p))=\eta_S(p)=0$, dunque uno divide l'altro, ma questo e' assurdo. []
Un appunto: scrivere $Z_{14}/(x^1+1)$ non ha alcun senso: casomai starai facendo $\frac{Z_{14}[x]}{(x^2+1)}$...
mi son perso kill! hai dimostrato che la caratteristica di B divide quella di A, e quindi esiste un morfismo fra A e B, o sbaglio?
insomma, se la caratteristica di B non divide quella di A, posso dire che il morfismo non esiste??
e soprattutto, quanto vale la caratteristica di un quoziente, fra un anello e un suo ideale, come quello nell'esempio!
grazie in anticipo, so che è uno sbattimento spiegare ogni volta queste cose! :S
Sono due numeri primi...
sono due numeri primi se entrambi sono campi! ma se non lo sono, entrambi, o almeno uno! posso dire che se la caratteristica di B divide quella di A, allora il morfismo esiste?
"fabjolie":
sono due numeri primi se entrambi sono campi!
No, la caratteristica di un anello e' un primo anche quando quell'anello e' solo integro. I campi sono anelli integri piuttosto particolari
In generale e' vero che char(R) puo' essere un qualsiasi numero intero; basta prendere \(\mathbb Z/n\) (che peo' ovviamente non e' un dominio di integrita'), e che se esiste un morfismo di anelli $R\to S$ allora la char di uno divide quella dell'altro.
"killing_buddha":
[quote="fabjolie"]sono due numeri primi se entrambi sono campi!
No, la caratteristica di un anello e' un primo anche quando quell'anello e' solo integro. I campi sono anelli integri piuttosto particolari
In generale e' vero che char(R) puo' essere un qualsiasi numero intero; basta prendere \(\mathbb Z/n\) (che peo' ovviamente non e' un dominio di integrita'), e che se esiste un morfismo di anelli $R\to S$ allora la char di uno divide quella dell'altro.[/quote]
ok, infatti non avevo chiesto il caso particolare di domini, che so che hanno come caratteristica un numero primo, ma il caso generale.
però ho ancora due piccoli dubbi:
affinché esista il morfismo, è la caratteristica del secondo che deve dividere quella del primo, o vale anche il viceversa?
la caratteristica di un quoziente A/I, è uguale alla caratteristica di A?
grazie ancora!!
Dovrebbe andare circa cosi':
Se esiste un morfismo $R\to S$ allora \(char (S)\mid char(R)\). Da cio':
1) esistono morfismi di anelli da \(\mathbb Z\) verso tutti gli anelli, come deve essere visto che \(\mathbb Z\) e' l'oggetto iniziale di \(\bf CRing\) (ne esiste, in particolare, esattamente uno)
2) Esistono morfismi di anelli da ogni anello di caratteristica zero
3) Passare a un quoziente cambia la caratteristica, e la rende un numero che deve dividere la caratteristica dell'anello che si sta quozientando. Non mi stupirei ci fosse una qualche relazione tra l'ideale e il modo in cui la caratteristica cambia. Se quozienti per un primo, ovvero passi da un anello integro a un anello integro, la caratteristica non cambia per l'argomento che ti ho offerto prima.
Se esiste un morfismo $R\to S$ allora \(char (S)\mid char(R)\). Da cio':
1) esistono morfismi di anelli da \(\mathbb Z\) verso tutti gli anelli, come deve essere visto che \(\mathbb Z\) e' l'oggetto iniziale di \(\bf CRing\) (ne esiste, in particolare, esattamente uno)
2) Esistono morfismi di anelli da ogni anello di caratteristica zero
3) Passare a un quoziente cambia la caratteristica, e la rende un numero che deve dividere la caratteristica dell'anello che si sta quozientando. Non mi stupirei ci fosse una qualche relazione tra l'ideale e il modo in cui la caratteristica cambia. Se quozienti per un primo, ovvero passi da un anello integro a un anello integro, la caratteristica non cambia per l'argomento che ti ho offerto prima.
"killing_buddha":
Dovrebbe andare circa cosi':
Se esiste un morfismo $R\to S$ allora \(char (S)\mid char(R)\). Da cio':
1) esistono morfismi di anelli da \(\mathbb Z\) verso tutti gli anelli, come deve essere visto che \(\mathbb Z\) e' l'oggetto iniziale di \(\bf CRing\) (ne esiste, in particolare, esattamente uno)
2) Esistono morfismi di anelli da ogni anello di caratteristica zero
3) Passare a un quoziente cambia la caratteristica, e la rende un numero che deve dividere la caratteristica dell'anello che si sta quozientando. Non mi stupirei ci fosse una qualche relazione tra l'ideale e il modo in cui la caratteristica cambia. Se quozienti per un primo, ovvero passi da un anello integro a un anello integro, la caratteristica non cambia per l'argomento che ti ho offerto prima.
Grazie mille, davvero!! sei stato di grandissimo aiuto!!
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