Carattere di ordine 2
Dimostra che il simbolo di Legendre è l'unico carattere reale non banale su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \).
Io ho pensato a questo: Denotiamo con \( G_{\mathbb{R} } \) il gruppo dei caratteri reali su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) e con \( G_{\mathbb{C}} \) il gruppo dei caratteri complessi su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \).
Sia \( \chi : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{R}^* \) un carattere non banale. Allora siccome \( \mathbb{R}^* \leq \mathbb{C}^* \) risulta che \( G_{\mathbb{R}} \leq G_{\mathbb{C}} \) e dunque \( \chi : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{C}^* \) è un carattere non banale.
Siccome un carattere complesso è una radice dell'unità è sufficiente dimostrare che il simbolo di Legendre è l'unico carattere complesso di ordine 2.
Non sono sicuro di quello che ho appena detto. Ed è prevalentemente su questo il mio dubbio. Poi proseguirei così:
Sia dunque \( \chi : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{C}^* \) un carattere di ordine due. Abbiamo pertanto che \( 1 = \chi(n)^2 = \chi(n^2) \), \( \forall n \in \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) e inoltre abbiamo che \( \chi(n) = \pm 1 \) per ogni \( n \in \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \). È chiaro inoltre che \[ \ker \chi \supseteq \{ x : \text{esiste un intero } n \text{ tale che} n^2 \equiv x \mod p \} \subseteq \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \]
Dimostriamo quanto segue prima:
Sia \( S \subset \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) l'insieme dei quadrati (S da squares), allora \( S \) è un sottogruppo di indice 2.
Definiamo un morfismo \( \alpha : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \), \( \alpha(x) = x^2 \). Abbiamo chiaramente che \( \alpha \) è un morfismo poiché \( \alpha(xy)=\alpha(x)\alpha(y) \). Inoltre se \(x \in \ker \alpha \) allora abbiamo che \(x^2 = 1 \) da cui \( (x-1)(x+1)=0 \), ora siccome \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) è un dominio d'integrità abbiamo che \( (x-1)(x+1)=0 \) se e solo se \(x= \pm 1 \) da cui \( \ker \alpha = \{ \pm 1 \} \) e pertanto \( \left| S \right| = \left| G/ \ker \alpha \right| = (p-1)/2 \) da cui \( [G] = 2 \).
Allora se \(x \) non è un quadrato abbiamo che \( xS \cap S = \emptyset \) e \( xS \cup S = \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \). Da cui deduciamo che il prodotto di due quadrati è un quadrato (per stabilità di gruppo), il prodotto di un quadrato con un non quadrato o di due non quadrati è un non quadrato. Pertanto mettendo assieme tutto
i) \( \chi(s) = 1 \) per ogni \( s \in S \)
ii) Esiste \(x \) tale che \( \chi(x) = - 1 \), e grazie ad i) deduciamo che \( x \not\in S \).
iii) Se \( y \not\in S \) allora esiste \( s \in S \) tale che \( y =xs \).
iv) Siccome \( \chi \) è un morfismo abbiamo che \( \chi(y) = \chi(xs)=\chi(x)\chi(s) = - 1 \)
Sia dunque
\[ \left( \frac{\cdot}{p} \right) : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{C}^{*} \]
definito da
\[ \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \ni n \mapsto \left( \frac{n}{p} \right) = \left\{\begin{matrix}
1& \text{se } n \text{ è un quadrato} \\
-1& \text{se } n \text{ non è un quadrato}
\end{matrix}\right. \]
è chiaramente completamente moltiplicativo poiché abbiamo che \(S\) è di indice 2 in \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \), pertanto è un morfismo di gruppi. E chiaramente è di ordine 2.
Concludiamo che l'unico carattere complesso di ordine 2 è il simbolo di Legendre, e credo che questo implichi che l'unico carattere reale non banale è il simbolo di Legendre.
Io ho pensato a questo: Denotiamo con \( G_{\mathbb{R} } \) il gruppo dei caratteri reali su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) e con \( G_{\mathbb{C}} \) il gruppo dei caratteri complessi su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \).
Sia \( \chi : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{R}^* \) un carattere non banale. Allora siccome \( \mathbb{R}^* \leq \mathbb{C}^* \) risulta che \( G_{\mathbb{R}} \leq G_{\mathbb{C}} \) e dunque \( \chi : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{C}^* \) è un carattere non banale.
Siccome un carattere complesso è una radice dell'unità è sufficiente dimostrare che il simbolo di Legendre è l'unico carattere complesso di ordine 2.
Non sono sicuro di quello che ho appena detto. Ed è prevalentemente su questo il mio dubbio. Poi proseguirei così:
Sia dunque \( \chi : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{C}^* \) un carattere di ordine due. Abbiamo pertanto che \( 1 = \chi(n)^2 = \chi(n^2) \), \( \forall n \in \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) e inoltre abbiamo che \( \chi(n) = \pm 1 \) per ogni \( n \in \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \). È chiaro inoltre che \[ \ker \chi \supseteq \{ x : \text{esiste un intero } n \text{ tale che} n^2 \equiv x \mod p \} \subseteq \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \]
Dimostriamo quanto segue prima:
Sia \( S \subset \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) l'insieme dei quadrati (S da squares), allora \( S \) è un sottogruppo di indice 2.
Definiamo un morfismo \( \alpha : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \), \( \alpha(x) = x^2 \). Abbiamo chiaramente che \( \alpha \) è un morfismo poiché \( \alpha(xy)=\alpha(x)\alpha(y) \). Inoltre se \(x \in \ker \alpha \) allora abbiamo che \(x^2 = 1 \) da cui \( (x-1)(x+1)=0 \), ora siccome \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) è un dominio d'integrità abbiamo che \( (x-1)(x+1)=0 \) se e solo se \(x= \pm 1 \) da cui \( \ker \alpha = \{ \pm 1 \} \) e pertanto \( \left| S \right| = \left| G/ \ker \alpha \right| = (p-1)/2 \) da cui \( [G] = 2 \).
Allora se \(x \) non è un quadrato abbiamo che \( xS \cap S = \emptyset \) e \( xS \cup S = \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \). Da cui deduciamo che il prodotto di due quadrati è un quadrato (per stabilità di gruppo), il prodotto di un quadrato con un non quadrato o di due non quadrati è un non quadrato. Pertanto mettendo assieme tutto
i) \( \chi(s) = 1 \) per ogni \( s \in S \)
ii) Esiste \(x \) tale che \( \chi(x) = - 1 \), e grazie ad i) deduciamo che \( x \not\in S \).
iii) Se \( y \not\in S \) allora esiste \( s \in S \) tale che \( y =xs \).
iv) Siccome \( \chi \) è un morfismo abbiamo che \( \chi(y) = \chi(xs)=\chi(x)\chi(s) = - 1 \)
Sia dunque
\[ \left( \frac{\cdot}{p} \right) : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{C}^{*} \]
definito da
\[ \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \ni n \mapsto \left( \frac{n}{p} \right) = \left\{\begin{matrix}
1& \text{se } n \text{ è un quadrato} \\
-1& \text{se } n \text{ non è un quadrato}
\end{matrix}\right. \]
è chiaramente completamente moltiplicativo poiché abbiamo che \(S\) è di indice 2 in \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \), pertanto è un morfismo di gruppi. E chiaramente è di ordine 2.
Concludiamo che l'unico carattere complesso di ordine 2 è il simbolo di Legendre, e credo che questo implichi che l'unico carattere reale non banale è il simbolo di Legendre.
Risposte
Inutilmente complicato. Tutti gli elementi di \((\mathbb Z/p\mathbb Z)^*\) soddisfano $x^n=1$ per qualche $n$. Quindi le loro immagini in $\mathbb C^*$ tramite un carettere sono radici dell'unità. Di reali ce ne sono solo 2, e siccome \((\mathbb Z/p\mathbb Z)^*\) è ciclico c'è un solo carattere non banale verso $C_2$.
Ah sì, i due morfismi possibili sono \( \chi(x) = 1 \) oppure \( \chi(x) = -1 \), dove \(x \) è il generatore di \( (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} \), perché è ciclico quindi il carattere è determinato dall'immagine del generatore. Se mando il generatore in \(1\) è il carattere banale. Siccome Legendre è un carattere allora l'unica altra scelta è il carattere di Legendre.
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