Cancellabilità negli anelli
In $Z_n$
Sia $[a]!=0$, $[a]$ è invertibile se e solo se non è divisore dello zero.
Inoltre qualcuno può spiegarmi come mai negli anelli la cancellabilità è strettamente legato alla nozione di divisore dello zero. Infatti ho letto una proposizione che dice:
Sia $a in R$ a è cancellabile a sinistra(risp. a destra) <=> a non è un divisore dello zero.
inoltre dice che se un elemento è simmetrizzabile è anche cancellabile, ma non vale per forza il viceversa.
Qualcuno può chiarirmi questi concetti?
Sia $[a]!=0$, $[a]$ è invertibile se e solo se non è divisore dello zero.
Inoltre qualcuno può spiegarmi come mai negli anelli la cancellabilità è strettamente legato alla nozione di divisore dello zero. Infatti ho letto una proposizione che dice:
Sia $a in R$ a è cancellabile a sinistra(risp. a destra) <=> a non è un divisore dello zero.
inoltre dice che se un elemento è simmetrizzabile è anche cancellabile, ma non vale per forza il viceversa.
Qualcuno può chiarirmi questi concetti?
Risposte
Per quanto riguarda la prima dimostrazione, ho idee solo in un verso, che è questo.
Proposizione Sia $A$ un anello, $a in A$ invertibile: $a$ non è divisore dello $0_A$.
Dimostrazione Se $a$ è invertibile $EEb in A: ab=1_A=ba$. Esista per assurdo un $ c in A, c!=0_A :ac=0_A=ca\ =>\ 0_A=0_A b=cab=1_A c = c$ che nega l'ipotesi di $c!=0$.
Proposizione Sia $A$ un anello: $A$ è privo di divisori dello $0_A$ se e solo se valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, ossia se $ax=bx -> a=b vv x=0_A$ e se $ax=ay -> a = 0_A\ vv\ x=y$.
Dimostrazione Sia $A$ privo di divisori dello $0_A$. Consideriamo l'uguaglianza $ax=bx$ (si può trattare allo stesso modo $xa=xb$ e $ax=ay$): senza molta inventiva $ax-bx=0_A to (a-b)x=0_A$. Siccome non ci sono divisori dello $0_A$ tale quantità non può fare $0_A$ a meno che uno dei due elementi sia uguale allo $0_A$, da cui $a=b\ vv \ x=0_A$.
Valgano ora le leggi di cancellazione rispetto al prodotto. Considero $a,b:\ a!=0_A!=b$ con $b:ab=0_A$ per assurdo. Allora $0_A a = 0_A = ab$ ma valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, quindi $b = 0_A$ assurdo.
Riguardo alla simmetrizzabilità non posso aiutarti, non sapendo cosa sia.
EDIT: riguardo al primo problema, leggo sul mio libro "Teorema 4.2 In un anello A un elemento invertibile non è divisore dello 0 [...] non è vero però il viceversa: esistono anelli con elementi che non sono invertibili, ma non sono divisori dello 0. L'esempio classico è dato da ($ZZ,+,cdot$)" Che scemo, scusa, è chiaro che non mi venisse una dimostrazione
. Non ho controllato il libro prima perchè l'ha fatto il mio prof. ed è fatto talmente male che studio sugli appunti - e lui in classe non aveva detto (o mi sono perso) ciò.
Proposizione Sia $A$ un anello, $a in A$ invertibile: $a$ non è divisore dello $0_A$.
Dimostrazione Se $a$ è invertibile $EEb in A: ab=1_A=ba$. Esista per assurdo un $ c in A, c!=0_A :ac=0_A=ca\ =>\ 0_A=0_A b=cab=1_A c = c$ che nega l'ipotesi di $c!=0$.
Proposizione Sia $A$ un anello: $A$ è privo di divisori dello $0_A$ se e solo se valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, ossia se $ax=bx -> a=b vv x=0_A$ e se $ax=ay -> a = 0_A\ vv\ x=y$.
Dimostrazione Sia $A$ privo di divisori dello $0_A$. Consideriamo l'uguaglianza $ax=bx$ (si può trattare allo stesso modo $xa=xb$ e $ax=ay$): senza molta inventiva $ax-bx=0_A to (a-b)x=0_A$. Siccome non ci sono divisori dello $0_A$ tale quantità non può fare $0_A$ a meno che uno dei due elementi sia uguale allo $0_A$, da cui $a=b\ vv \ x=0_A$.
Valgano ora le leggi di cancellazione rispetto al prodotto. Considero $a,b:\ a!=0_A!=b$ con $b:ab=0_A$ per assurdo. Allora $0_A a = 0_A = ab$ ma valgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto, quindi $b = 0_A$ assurdo.
Riguardo alla simmetrizzabilità non posso aiutarti, non sapendo cosa sia.
EDIT: riguardo al primo problema, leggo sul mio libro "Teorema 4.2 In un anello A un elemento invertibile non è divisore dello 0 [...] non è vero però il viceversa: esistono anelli con elementi che non sono invertibili, ma non sono divisori dello 0. L'esempio classico è dato da ($ZZ,+,cdot$)" Che scemo, scusa, è chiaro che non mi venisse una dimostrazione
. Non ho controllato il libro prima perchè l'ha fatto il mio prof. ed è fatto talmente male che studio sugli appunti - e lui in classe non aveva detto (o mi sono perso) ciò.
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