Cancellabilità a destra in una composizione di funzioni
Ciao 
Vorrei porvi una domanda riguardo un esercizio che ho sugli appunti di cui non è data soluzione (ex per casa) diciamo.
Voglio dimostrare che
DIM:
assumo $f(y)=f'(y)$ con arbitrarietà di y a garantirne l'uguaglianza delle funzioni.
Ora, valendo per HP la suriettività di g ho che per ogni y in Y esiste x in X t.c. $g(x)=y$
Posso quindi scrivere: $f(y)=f(g(x))=(f∘g)(x)=f'(y)=f'(g(x))=(f'∘g)(x)$
Ma nell'uguaglianza posso riordinare a piacere e concludere che $(f∘g)(x)=(f'∘g)(x)=f(g(x))=f'(g(x))=f(y)=f'(y)$
In modo notazionalmente compatto $(f∘g)(x)=(f'∘g)(x)=f(y)=f'(y)$.
Il mio dubbio è che non ho seguito i passi di una implicazione =>, nel senso che ho trovato una uguaglianza $f∘g=f'∘g=f=f'$ ma essa dovrebbe vale anche come $f∘g=f'∘g => f=f'$, è corretto? Ringrazio.
Vorrei porvi una domanda riguardo un esercizio che ho sugli appunti di cui non è data soluzione (ex per casa) diciamo.
Voglio dimostrare che
Date le funzioni f,f:Y->Z e g:X->Y
Supposta esistere la suriettività di g allora vale lacosì detta cancellazione a dx: f∘g=f'∘g => f=f'
DIM:
assumo $f(y)=f'(y)$ con arbitrarietà di y a garantirne l'uguaglianza delle funzioni.
Ora, valendo per HP la suriettività di g ho che per ogni y in Y esiste x in X t.c. $g(x)=y$
Posso quindi scrivere: $f(y)=f(g(x))=(f∘g)(x)=f'(y)=f'(g(x))=(f'∘g)(x)$
Ma nell'uguaglianza posso riordinare a piacere e concludere che $(f∘g)(x)=(f'∘g)(x)=f(g(x))=f'(g(x))=f(y)=f'(y)$
In modo notazionalmente compatto $(f∘g)(x)=(f'∘g)(x)=f(y)=f'(y)$.
Il mio dubbio è che non ho seguito i passi di una implicazione =>, nel senso che ho trovato una uguaglianza $f∘g=f'∘g=f=f'$ ma essa dovrebbe vale anche come $f∘g=f'∘g => f=f'$, è corretto? Ringrazio.
Risposte
Non ho capito il tuo dubbio, ma la dimostrazione mi sembra corretta: hai che ogni \( y \) di \( Y \) si scrive come \( y=f(x) \) per qualche x in X, quindi
\[
f(y)=f(g(x))=f^\prime(g(x))=f^\prime(y)\text{.}
\]
\[
f(y)=f(g(x))=f^\prime(g(x))=f^\prime(y)\text{.}
\]
Il dubbio è piuttosto stupido me ne rendo conto, nel senso che dvorei dimostrare una implicazione
f∘g=f'∘g => f=f' e non mi è mai capitato di farlo usando f∘g=f'∘g = f=f' e michiedevo quindi se fosse un ragionamento corretto.
f∘g=f'∘g => f=f' e non mi è mai capitato di farlo usando f∘g=f'∘g = f=f' e michiedevo quindi se fosse un ragionamento corretto.
Ok ho capito. (Non è stupido).
Hai assunto che valga fg=f'g con g suriettiva, e hi fatto vedere che, preso un qualsiasi y in Y si ha che [...], che [...], che [...], e quindi che f(y)=f'(y). Praticamente hai dimostrato la => "grande" passando per tante => "piccole".
E occhio che non hai dimostrato che fg = f'g = f = f'!
Hai assunto che valga fg=f'g con g suriettiva, e hi fatto vedere che, preso un qualsiasi y in Y si ha che [...], che [...], che [...], e quindi che f(y)=f'(y). Praticamente hai dimostrato la => "grande" passando per tante => "piccole".
E occhio che non hai dimostrato che fg = f'g = f = f'!
"marco2132k":
E occhio che non hai dimostrato che fg = f'g = f = f'!
Forse allora il mio errore interpretativo soggiace qui, perché mi sembrava aver dimostrato quello potendo scrivere
$f(y)=f(g(x))=(f∘g)(x)=f'(y)=f'(g(x))=('f∘g)(x)$
Ma nell'uguaglianza posso riordinare a piacere e concludere che $(f∘g)(x)=('f∘g)(x)=f(g(x))=f'(g(x))=f(y)=f'(y)$ (**)
Non è proprio quella uguaglianza prendendo primi due e ultimi due della riga (**)?
È vero che \( \phi = \psi \) per due funzioni \( \phi,\psi\colon X\to Y \) se e solo se \( \phi(x) = \phi(y) \) per ogni \( x\in X \).
Nota addirittura che \( f \) è una funzione \( Y\to Z \), mentre \( f\circ g \) è una funzione che va da \( \color{red}X \) a \( Z \)...
Nota addirittura che \( f \) è una funzione \( Y\to Z \), mentre \( f\circ g \) è una funzione che va da \( \color{red}X \) a \( Z \)...
AH ok, mi stai forse dicendo che fg = f'g = f = f' sarebbe una uguaglianza tra funzioni, mentre io ho dimostrato $(f∘g)(x)=('f∘g)(x)=f(g(x))=f'(g(x))=f(y)=f'(y)$ uguaglianza tra immagini di due funzioni?
E' l'uguaglianza per qualunque immagine che IMPLICA (questo sì) l'uguaglianza tra le funzioni cercata.
Non so se ho afferrato
. Spero ora sia giusto,che dici?
Ri-grazie
E' l'uguaglianza per qualunque immagine che IMPLICA (questo sì) l'uguaglianza tra le funzioni cercata.
Non so se ho afferrato
. Spero ora sia giusto,che dici?Ri-grazie
Esatto. Prova anche a fare un disegno, così magari ti diventa più chiaro.
"aritmetico":Questo l'ho messo sotto al tappeto, perché non so risponderti come ne avresti bisogno. Credo che potresti trovare interessante la differenza tra \( \implies \) e \( \vdash \) (ma io non ci provo a spiegartela).
IMPLICA
Ti ringrazio, in effetti in algebra ho affrontato le basi dell'implicazione. Però vorrei chiederti, dove potrei approfondire secondo te -se hai dei link-? (credo tu ti riferisca a differenza tra implicazione logica e materiale).
He he, non ne ho idea. Detto che per i corsi del primo anno non è mai necessario approfondire la cosa (ma che, se ti piace, nessuno ti impedisce di farlo), magari prova a guardare che libri consigliano per il primo corso di logica dove studi tu.
Se cerchi su qualche motore di ricerca robe tipo "implication vs entailment", ecc., ci sono un sacco di post su MSE dove la gente spiega queste cose (ma alcuni io li trovo incomprensibili perché, appunto, non conosco metà dei termini e delle notazioni che usano).
Se cerchi su qualche motore di ricerca robe tipo "implication vs entailment", ecc., ci sono un sacco di post su MSE dove la gente spiega queste cose (ma alcuni io li trovo incomprensibili perché, appunto, non conosco metà dei termini e delle notazioni che usano).
Grazie per la tua gentilezza e l'aiuto. Seguirò il consiglio
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