Campo non monogenico: esempio
Un campo di numeri \(K\) è detto monogenico se esiste \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) tale che \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha] \). Lo scopo di questo esercizio è di mostrare un ostruzione all'essere monogenico e di mostrare un esempio di campo non monogenico costruito da Dedekind.
Assumiamo che \(n \) è il grado di \(K \) e \(p < n \) sia un numero primo totalmente spezzato (totally splits?) in \(K\). Sia \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) di grado \(n\).
a) Dimostra che
\[ \left| \operatorname{Hom}( \mathcal{O}_{K,p} /p \mathcal{O}_{K,p} , \mathbb{F}_p) \right|=n \]
b) Dimostra che
\[ \left| \operatorname{Hom}( \mathbb{Z}[\alpha]_p /p \mathbb{Z}[\alpha_p , \mathbb{F}_p) \right|\leq p \]
c) concludi che
\[ p \mid [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\alpha] ] \]
NB: abbiamo dimostrato qualcosa di più forte: per \(p\) che soddisfa le assunzioni sopra, non esiste \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) tale che \( \mathcal{O}_{K,p}=\mathbb{Z}[\alpha]_p \).
Notazione: Se \(A\) è un anello e \( \mathfrak{p} \) un ideale allora \( A_{\mathfrak{p}} := \{ \frac{a}{q}, a \in A, q \in A - \mathfrak{p} \} \subset Frac(A) \).
Domanda: Perché questo dimostra che \(K\) non è monogenico? Nel senso io direi semplicemente che \( \mathcal{O}_{K,p} \neq \mathbb{Z}[\alpha]_p \), ma non vedo come questo implichi che \( \mathcal{O}_K \neq \mathbb{Z}[\alpha] \).
Ora considera \(K=\mathbb{Q}[\theta] \) con \( \theta \) che soddisfa \(X^3 - X^2 -2X -8 =0 \).
a) Dimostra che \(X^3 - X^2 -2X - 8 \) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[X] \).
b) Usando un computer può essere trovato che \( \operatorname{disc}_{K/\mathbb{Q}}(1,\theta,\theta^2) = -4.503 \). Dimostra che \( [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] ] = 2 \) e concludi che il discriminante di \(K\) è \(-503 \)
c) Calcola la norma di \(N(\theta) \) e la norma \(N(\theta+1) \). Usando questa informazione dimostra che \(2\) si spezza totalmente.
d) Usando il risultato sopra dimostra che \(K\) non è monogenico.
-Avrei un paio di domande, in particolare sul punto b).
b) Dimostriamo che \( \beta:=\frac{\theta+ \theta^2}{2} \in \mathcal{O}_K \), per fare ciò è sufficiente controllare che il polinomio caratteristico di \( \frac{\theta+ \theta^2}{2} \) si trova in \( \mathbb{Z}[X] \), calcolare il polinomio caratteristico, calcoliamo il polinomio caratteristico della \(\mathbb{Q}\) mappa lineare \( \cdot_{\beta} : K \to K \) e controlliamo che possiede coefficenti in \( \mathbb{Z} \) e quindi \( \beta \in \mathcal{O}_K \).
Domanda 1:
Non ho capito come trova la matrice della \( \mathbb{Q} \) mappa lineare e come calcola il determinante della matrice. Presumo prenda come \(\mathbb{Q}\)-base di \(K\) la base: \( (1,\theta,\theta^2) \), siccome quel polinomio è irriducibile e quindi automaticamente se ho una radice che sta in \(\theta \in K=\mathbb{Q}[\theta] \) allora ho automaticamente che \((1,\theta,\theta^2)\) è una base. Poiché essendo irriducibile ho che \( \mathbb{Q}[\theta] \cong \mathbb{Q}[t]/(f)\) dove \(f(X) = X^3 -X^2-2X-8 \).
Ma non ho capito come riesce a calcolare quella matrice onestamente.
Abbiamo che \( \operatorname{disc}(1,\theta,\beta) = (\det A)^2 \operatorname{disc}(1,\theta,\theta^2) \) dove \(A\) indica la matrice di cambiamento di base tra \( ( 1,\theta,\theta^2) \) e \( (1,\theta,\beta) \). Abbiamo che \( \det A = 1/2 \) e quindi
\[ \operatorname{disc}(1,\theta,\beta) = 503 \]
Domanda 2: sono molto confuso....
in primo luogo dovrebbe essere \(-503 \). Comunque non riesco a capire come \( \frac{1}{4} \cdot 503 = 4.503 \).
Abbiamo che \(503\) è privo di quadrati quindi per un esercizio precedente abbiamo che \((1,\theta,\beta) \) è una \( \mathbb{Z} \)-base di \( \mathcal{O}_K \) e quindi \( [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] ] = 2 \) e \( \operatorname{disc}(K) = 503 \).
domanda 3
Ma se \((1,\theta,\beta) \) è una \( \mathbb{Z}\)-base di \( \mathcal{O}_K \) non dovrei avere \( [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] ] = 3 \) ??
Assumiamo che \(n \) è il grado di \(K \) e \(p < n \) sia un numero primo totalmente spezzato (totally splits?) in \(K\). Sia \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) di grado \(n\).
a) Dimostra che
\[ \left| \operatorname{Hom}( \mathcal{O}_{K,p} /p \mathcal{O}_{K,p} , \mathbb{F}_p) \right|=n \]
b) Dimostra che
\[ \left| \operatorname{Hom}( \mathbb{Z}[\alpha]_p /p \mathbb{Z}[\alpha_p , \mathbb{F}_p) \right|\leq p \]
c) concludi che
\[ p \mid [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\alpha] ] \]
NB: abbiamo dimostrato qualcosa di più forte: per \(p\) che soddisfa le assunzioni sopra, non esiste \( \alpha \in \mathcal{O}_K \) tale che \( \mathcal{O}_{K,p}=\mathbb{Z}[\alpha]_p \).
Notazione: Se \(A\) è un anello e \( \mathfrak{p} \) un ideale allora \( A_{\mathfrak{p}} := \{ \frac{a}{q}, a \in A, q \in A - \mathfrak{p} \} \subset Frac(A) \).
Domanda: Perché questo dimostra che \(K\) non è monogenico? Nel senso io direi semplicemente che \( \mathcal{O}_{K,p} \neq \mathbb{Z}[\alpha]_p \), ma non vedo come questo implichi che \( \mathcal{O}_K \neq \mathbb{Z}[\alpha] \).
Ora considera \(K=\mathbb{Q}[\theta] \) con \( \theta \) che soddisfa \(X^3 - X^2 -2X -8 =0 \).
a) Dimostra che \(X^3 - X^2 -2X - 8 \) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[X] \).
b) Usando un computer può essere trovato che \( \operatorname{disc}_{K/\mathbb{Q}}(1,\theta,\theta^2) = -4.503 \). Dimostra che \( [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] ] = 2 \) e concludi che il discriminante di \(K\) è \(-503 \)
c) Calcola la norma di \(N(\theta) \) e la norma \(N(\theta+1) \). Usando questa informazione dimostra che \(2\) si spezza totalmente.
d) Usando il risultato sopra dimostra che \(K\) non è monogenico.
-Avrei un paio di domande, in particolare sul punto b).
b) Dimostriamo che \( \beta:=\frac{\theta+ \theta^2}{2} \in \mathcal{O}_K \), per fare ciò è sufficiente controllare che il polinomio caratteristico di \( \frac{\theta+ \theta^2}{2} \) si trova in \( \mathbb{Z}[X] \), calcolare il polinomio caratteristico, calcoliamo il polinomio caratteristico della \(\mathbb{Q}\) mappa lineare \( \cdot_{\beta} : K \to K \) e controlliamo che possiede coefficenti in \( \mathbb{Z} \) e quindi \( \beta \in \mathcal{O}_K \).
Domanda 1:
Non ho capito come trova la matrice della \( \mathbb{Q} \) mappa lineare e come calcola il determinante della matrice. Presumo prenda come \(\mathbb{Q}\)-base di \(K\) la base: \( (1,\theta,\theta^2) \), siccome quel polinomio è irriducibile e quindi automaticamente se ho una radice che sta in \(\theta \in K=\mathbb{Q}[\theta] \) allora ho automaticamente che \((1,\theta,\theta^2)\) è una base. Poiché essendo irriducibile ho che \( \mathbb{Q}[\theta] \cong \mathbb{Q}[t]/(f)\) dove \(f(X) = X^3 -X^2-2X-8 \).
Ma non ho capito come riesce a calcolare quella matrice onestamente.
Abbiamo che \( \operatorname{disc}(1,\theta,\beta) = (\det A)^2 \operatorname{disc}(1,\theta,\theta^2) \) dove \(A\) indica la matrice di cambiamento di base tra \( ( 1,\theta,\theta^2) \) e \( (1,\theta,\beta) \). Abbiamo che \( \det A = 1/2 \) e quindi
\[ \operatorname{disc}(1,\theta,\beta) = 503 \]
Domanda 2: sono molto confuso....
in primo luogo dovrebbe essere \(-503 \). Comunque non riesco a capire come \( \frac{1}{4} \cdot 503 = 4.503 \). Abbiamo che \(503\) è privo di quadrati quindi per un esercizio precedente abbiamo che \((1,\theta,\beta) \) è una \( \mathbb{Z} \)-base di \( \mathcal{O}_K \) e quindi \( [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] ] = 2 \) e \( \operatorname{disc}(K) = 503 \).
domanda 3
Ma se \((1,\theta,\beta) \) è una \( \mathbb{Z}\)-base di \( \mathcal{O}_K \) non dovrei avere \( [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta] ] = 3 \) ??
Risposte
"3m0o":
Domanda 1:
Non ho capito come trova la matrice della \( \mathbb{Q} \) mappa lineare e come calcola il determinante della matrice. Presumo prenda come \(\mathbb{Q}\)-base di \(K\) la base: \( (1,\theta,\theta^2) \), siccome quel polinomio è irriducibile e quindi automaticamente se ho una radice che sta in \(\theta \in K=\mathbb{Q}[\theta] \) allora ho automaticamente che \((1,\theta,\theta^2)\) è una base. Poiché essendo irriducibile ho che \( \mathbb{Q}[\theta] \cong \mathbb{Q}[t]/(f)\) dove \(f(X) = X^3 -X^2-2X-8 \).
Ma non ho capito come riesce a calcolare quella matrice onestamente.
Rispetto a questa domanda, okay ho una base \( (1,\theta,\theta^2) \) quindi calcolando la moltiplicazione per beta ottengo che
\[ (1,0,0) \mapsto (\beta,0,0) \]
\[ (0,\theta,0) \mapsto (0,\theta \beta,0) = (0,\theta^2 + \theta+4,0) \]
e
\[ (0,0,\theta^2) \mapsto (0,0,\theta^2 \beta) = (0,0, 2 \theta^2 + \theta+8 ) \]
e quindi formo la matrice
\[ M_{\beta} := \begin{pmatrix}
\beta & 0 & 0 \\
0 & \theta^2 + \theta+4 & 0 \\
0 & 0 & 2 \theta^2 + \theta+8
\end{pmatrix} \]
e calcolo il determinante di \( \det( M_{\beta} - x I) \) ma non mi sembra molto fattibile sapere che questo polinomio
\[ \left(\frac{\theta+\theta^2}{2}-x\right) (\theta^2 + \theta+4-x) (2 \theta^2 + \theta+8-x) \]
abbia coefficienti interi, soprattutto perché non so cos'è \( \theta \). Quindi non capisco come fare per capire che \( \frac{\theta+\theta^2}{2} \in \mathcal{O}_K \).
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