Campo finito cardinalità
Sia \( K \) un campo finito. Dimostra che
a) La caratteristica di \(K \) è un numero primo
b) \( card(K)=p^n \) per \(n \) intero.
c) Tutti gli elementi non nulli di \(K\) sono radice di \( t^{p^n -1} -1 \)
d) \(K\) è il campo di decomposizione di \(t^{p^n} - t \).
Allora per
a) Siccome \(K \) è un campo allora è un dominio d'integrità pertanto \( car(K)=p \), perché gli unici anelli che sono un dominio d'integrità hanno caratteristica 0 oppure un numero pirmo p.
Per b) ho guardato la soluzione ma non la capisco.
L'unico omomorfismo d'anelli \( f : \mathbb{Z} \to K \) fattorizzato per il quoziente \( \bar{f} : \mathbb{Z}/p \to K \). Questo omomorfismo è iniettivo e \(K\) è un estensione di \( \bar{f}(\mathbb{Z}/p) \cong \mathbb{Z}/p \). Il grado di questa estensione è un certo intero \(n\) e dunque la dimensione di \(K\) come \( \mathbb{z}/p \)-spazio vettoriale è \(n\) pertanto \( card(K)=n\).
Allora i punti che non capisco sono:
- come fa a dire che \( \bar{f} \) è iniettivo?
- come fa a dire che \( \bar{f}(\mathbb{Z}/p) \cong \mathbb{Z}/p \)
- Come mai \(K\) è un estensione di \(\mathbb{Z}/p \) ?
c) Non capisco una cosa della soluzione
Gli elementi non nulli sono gli inversibili poiché è un campo dunque \(K^{\times} \), che è un gruppo moltiplicativo, inoltre possiede esattamente \( p^n -1 \). In particolare l'ordine di ciascun elemento divide \( p^n -1 \). Detto altrimenti \( \alpha^{p^n -1} = 1 \) oppure ancora tutti gli elementi non nulli sono radice di quel polinomio.
Quello che non capisco è questo:
Okay è un campo quindi gli inversibili sono esattamente \(p^n -1 \), ma abbiamo anche che per ogni \(k \geq \) \( \varphi(k) = card( (\mathbb{Z}/k)^{\times}) \) dunque perché non abbiamo (e non lo abbiamo) che \( card( K^{\times})=\varphi(p^n) = p^{n-1}(p-1) \) e non \(p^n -1\). Dove \( \varphi \) è la funzione di eulero. Un campo finito che ha cardinalità \(p^n \) con \(n = 1 \) è isomorfo a \( \mathbb{Z}/p \) questo vuol dire che un campo finito di cardinalità \(p^n \) con \( n > 1 \) non è isomorfo mai a \( \mathbb{Z}/p^n \) ?
d) \( t^{p^n} - t = t(t^{p^n -1} - 1) \) dunque abbiamo per il punto precedente che questo polinomio possiede \(p^n \) radici in \(K\), siccome \(0\) è banalmente radice. Un polinomio di grado \(p^n\) possiede al più \(p^n \) radici, e abbiamo trovato \(p^n \) radici in \(K\). Le abbiamo dunque tutte e \(K\) contiene tutte le radici di \( t^{p^n} - t \) e non un elemento in più. Si tratta dunque del campo di decomposizione di \( t^{p^n}- t \).
Qui abbiamo una cosa più forte del campo di decomposizione vero? Ovvero non è solo campo di decomposizione ma ogni elemente di \(K\) è soluzione di quel polinomio, cosa non necessariamente vera in un campo di decomposizione qualunque. Un estensione di \(K\) contiene più elementi ma rimane un campo di decomposizione, vero?
a) La caratteristica di \(K \) è un numero primo
b) \( card(K)=p^n \) per \(n \) intero.
c) Tutti gli elementi non nulli di \(K\) sono radice di \( t^{p^n -1} -1 \)
d) \(K\) è il campo di decomposizione di \(t^{p^n} - t \).
Allora per
a) Siccome \(K \) è un campo allora è un dominio d'integrità pertanto \( car(K)=p \), perché gli unici anelli che sono un dominio d'integrità hanno caratteristica 0 oppure un numero pirmo p.
Per b) ho guardato la soluzione ma non la capisco.
L'unico omomorfismo d'anelli \( f : \mathbb{Z} \to K \) fattorizzato per il quoziente \( \bar{f} : \mathbb{Z}/p \to K \). Questo omomorfismo è iniettivo e \(K\) è un estensione di \( \bar{f}(\mathbb{Z}/p) \cong \mathbb{Z}/p \). Il grado di questa estensione è un certo intero \(n\) e dunque la dimensione di \(K\) come \( \mathbb{z}/p \)-spazio vettoriale è \(n\) pertanto \( card(K)=n\).
Allora i punti che non capisco sono:
- come fa a dire che \( \bar{f} \) è iniettivo?
- come fa a dire che \( \bar{f}(\mathbb{Z}/p) \cong \mathbb{Z}/p \)
- Come mai \(K\) è un estensione di \(\mathbb{Z}/p \) ?
c) Non capisco una cosa della soluzione
Gli elementi non nulli sono gli inversibili poiché è un campo dunque \(K^{\times} \), che è un gruppo moltiplicativo, inoltre possiede esattamente \( p^n -1 \). In particolare l'ordine di ciascun elemento divide \( p^n -1 \). Detto altrimenti \( \alpha^{p^n -1} = 1 \) oppure ancora tutti gli elementi non nulli sono radice di quel polinomio.
Quello che non capisco è questo:
Okay è un campo quindi gli inversibili sono esattamente \(p^n -1 \), ma abbiamo anche che per ogni \(k \geq \) \( \varphi(k) = card( (\mathbb{Z}/k)^{\times}) \) dunque perché non abbiamo (e non lo abbiamo) che \( card( K^{\times})=\varphi(p^n) = p^{n-1}(p-1) \) e non \(p^n -1\). Dove \( \varphi \) è la funzione di eulero. Un campo finito che ha cardinalità \(p^n \) con \(n = 1 \) è isomorfo a \( \mathbb{Z}/p \) questo vuol dire che un campo finito di cardinalità \(p^n \) con \( n > 1 \) non è isomorfo mai a \( \mathbb{Z}/p^n \) ?
d) \( t^{p^n} - t = t(t^{p^n -1} - 1) \) dunque abbiamo per il punto precedente che questo polinomio possiede \(p^n \) radici in \(K\), siccome \(0\) è banalmente radice. Un polinomio di grado \(p^n\) possiede al più \(p^n \) radici, e abbiamo trovato \(p^n \) radici in \(K\). Le abbiamo dunque tutte e \(K\) contiene tutte le radici di \( t^{p^n} - t \) e non un elemento in più. Si tratta dunque del campo di decomposizione di \( t^{p^n}- t \).
Qui abbiamo una cosa più forte del campo di decomposizione vero? Ovvero non è solo campo di decomposizione ma ogni elemente di \(K\) è soluzione di quel polinomio, cosa non necessariamente vera in un campo di decomposizione qualunque. Un estensione di \(K\) contiene più elementi ma rimane un campo di decomposizione, vero?
Risposte
"3m0o":Primo teorema di isomorfismo.
- come fa a dire che \( \bar{f} \) è iniettivo?
- come fa a dire che \( \bar{f}(\mathbb{Z}/p) \cong \mathbb{Z}/p \)
- Come mai \(K\) è un estensione di \(\mathbb{Z}/p \) ?Un estensione di un anello $R$ è per definizione un omomorfismo di anelli iniettivo $R \to S$.
Vero, grazie!
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