Campo finito
Ragazzi se considero $R$ come l'insieme dei numeri reali,
$T={x in R | -20 <= x <= 20} sube R $ T con operazioni di somma e prodotto, può essere considerato un campo finito
$T={x in R | -20 <= x <= 20} sube R $ T con operazioni di somma e prodotto, può essere considerato un campo finito
Risposte
No perchè le operazioni non sono interne.
Se fai $15+10$ il risultato non sta in $T$
Se fai $15+10$ il risultato non sta in $T$
E puoi farmi un esempio di campo finito?
Un esempio è il campo di Galois!
ti informo che non l'abbiamo fatto nel programma di algebra
Mmmm..in questo momento non mi viene niente in mente oltre a quello già citato!
$Z_n$ potrebbe essere un campo finito?no?
Inoltre perchè Z_n è un dominio di integrità???
Prendi $Z_4={0,1,2,3}$
$[2][2]=[0]$ come mai è un dominio di integrità?
Inoltre perchè Z_n è un dominio di integrità???
Prendi $Z_4={0,1,2,3}$
$[2][2]=[0]$ come mai è un dominio di integrità?
Infatti $\mathbb{Z}_n$, se $n$ non è primo, non è affatto un dominio di integrità, ma solo un anello commutativo.
Se invece $n=p$ è primo, $\mathbb{Z}_p$ è proprio un campo, che si indica di solito con $\mathbb{F}_p$: "il" campo finito di ordine $p$ (ne esiste uno solo a meno di isomorfismi). Si può dimostrare che TUTTI E SOLI i campi finiti sono, a meno di isomorfismi, i campi $\mathbb{Z}_p$ e i campi di spezzamento dei polinomi $x^{p^n}-1\in \mathbb{F}_p[x]$ (per $n\ge 1$), cioè i campi "più piccoli" in cui tali polinomi si spezzano completamente in fattori lineari. Il campo di spezzamento di $x^{p^n}-1\in \mathbb{F}_p[x]$ ha ordine $p^n$ (il ché equivale a dire che tutte le radici del polinomio sono distinte). Dunque un campo finito ha sempre ordine uguale alla potenza di un primo.
Se invece $n=p$ è primo, $\mathbb{Z}_p$ è proprio un campo, che si indica di solito con $\mathbb{F}_p$: "il" campo finito di ordine $p$ (ne esiste uno solo a meno di isomorfismi). Si può dimostrare che TUTTI E SOLI i campi finiti sono, a meno di isomorfismi, i campi $\mathbb{Z}_p$ e i campi di spezzamento dei polinomi $x^{p^n}-1\in \mathbb{F}_p[x]$ (per $n\ge 1$), cioè i campi "più piccoli" in cui tali polinomi si spezzano completamente in fattori lineari. Il campo di spezzamento di $x^{p^n}-1\in \mathbb{F}_p[x]$ ha ordine $p^n$ (il ché equivale a dire che tutte le radici del polinomio sono distinte). Dunque un campo finito ha sempre ordine uguale alla potenza di un primo.
"Mrhaha":Casomai i campi di Galois.
Un esempio è il campo di Galois!
gaten Studiati gli ideali massimali dell'anello \(\mathbb{Z}\), quozienta ed ottieni i campi di Galois di cui sopra!
Poi guarda che il tuo insieme $\{x\in \mathbb{R} | -20\le x\le 20\}$, oltre a non essere un campo, non è affatto finito (anzi ha la cardinalità del continuo), è solo limitato!!
$Z_p$ con p primo, è un campo ma non è un dominio di integrità?
$\mathbb{Z}_n$ è un campo (e quindi automaticamente un dominio!) se $n$ è primo, mentre non è un campo, ma nemmeno un dominio, se $n$ non è primo. Per provarlo ti basta dimostrare quanto segue: una classe di resto (modulo $n$) $[a]_n$ è invertibile se e solo se $MCD(a,n)=1$, ed è un divisore dello zero se e solo se $MCD(a,n)!=1$.
perdonami, mi spiegli l'implicazione: se è un campo allora è anche un dominio???
"gaten":
perdonami, mi spiegli l'implicazione: se è un campo allora è anche un dominio???
Una unità non è mai un divisore dello zero.
"j18eos":Casomai i campi di Galois.
[quote="Mrhaha"]Un esempio è il campo di Galois!
gaten Studiati gli ideali massimali dell'anello \(\mathbb{Z}\), quozienta ed ottieni i campi di Galois di cui sopra![/quote]
sorry!
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