Campo finito.

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Un'altro esercizio di preparazione per l'esame, avrei un paio di domande.
Sia \( f(t)=t^9 + t^8 + t^7 +t^5 + t^4 + 1 \) un polinomio di \( \mathbb{F}_2[t] \). E sia \( A= \mathbb{F}_2[t]/(f) \) l'anello quoziente.

a) Trovare una radice doppia di \(f\) in \( \mathbb{F}_4\), campo di cardinalità 4. Utilizza un modello esplicito di \( \mathbb{F}_4\).
b) Calcola la cardinalità di \(A\)
c) Scomponi \(f\) in un prodotto di polinomi irriducibili di \( \mathbb{F}_2[t] \). Giustifica rigorosamente l'irriducibilità di questi polinomi
d) L'anello \(A\) è un dominio d'integrità?
e) Calcola il numero di elementi invertibili in \(A\). Giustifica ciascun'argomentazione rigorosamente!

a) Io sono andato un po' "a caso" cercando la radice doppia, c'è un modo per capire qual'è ?

Uso il modello \( \mathbb{F}_2[t]/(t^4-t) \) ora abbiamo \( \mathbb{F}_4 = \{0,1,\alpha,\alpha+1\}\) dove \( \alpha = t + (t^2+t+1) \), possiede tutte le radici di \(t^4-t\) che \(t^4-t \) poiché è il campo di decomposizione di \(t^4-t\) abbiamo che \(t(t+1)(t^2+t+1)=t^4-t\)
Abbiamo che \( 1 \) è radice di \(f \), infatti \(f(1)=0 \) in \( \mathbb{F}_4\), ma non è radice doppia poiché la derivata di \(f\) non si annulla infatti
\[ f'(t) = t^8 + t^6+t^4 \]
e \(f'(1)=1\).
Pertanto, siccome sia \( \alpha \) che \( \alpha +1 \) sono radici \( t^4-t \), e \(0 \) non è radice di \(f\), almeno una radice di \( t^2+t+1 \) dev'essere radice doppia di \(f\). Prendiamo \( \alpha \)
Abbiamo che \( \alpha^2 = \alpha+1 \) Dunque
\[ \alpha^9 + \alpha^8 + \alpha^7 + \alpha^5 + \alpha^4 +1 = \alpha (alpha+1)^4 + (\alpha+1)^4 + \alpha (\alpha+1) (\alpha+1)^2 + \alpha^5 + \alpha^4+1 \]
\[= \alpha ( \alpha^4+1 ) + \alpha^4 +1 + ( \alpha^2+\alpha)(\alpha^2+1) + \alpha^5 + \alpha^4 +1 =
\alpha^5 + \alpha + \alpha^4 +1 + \alpha^2+1+ \alpha^5 + \alpha^4+1\]
\[ = \alpha^2+\alpha+1=0 \]

Inoltre la derivata di \(f\) si annulla anch'essa in \(\alpha\) infatti
\[ f'(\alpha) = \alpha^8 + \alpha^6 + \alpha^4 = \alpha^4( \alpha^4 + \alpha^2 + 1) = \alpha^4(\alpha^2+\alpha+1)(\alpha^2+\alpha+1) = 0 \]

b)

Abbiamo che siccome \( \mathbb{F}_2[t]/(f) \) è formato dai polinomi \( r \) tale che \( \deg r < \deg f \), infatti dato l'anello dei polinomi \( \mathbb{F}_2[t] \), siccome \( \mathbb{F}_2\) è un campo, abbiamo che è un dominio euclideo, dunque per ogni \(g \in \mathbb{F}_2[t] \), tale che \( \deg f < \deg g \) possiamo trovare \(q,r\) tale che
\[ g(t) = f(t) q(t) + r(t) \]
dunque siccome \( f(t) q(t) \in (f(t)) \) abbiamo che in \(A\) \(g=r\). Chiaramente se \( \deg g < \deg f \) risulta che \( q = 0 \) e \( g=r \) già in \( \mathbb{F}_2[t] \).
Pertanto siccome i coefficienti dei polinomi vivono in \( \mathbb{F}_2 \) abbiamo per ogni coefficiente esattamente due scelte. Dunque la cardinalità di \(A\) è \(2^9 \). Infatti per ogni \(r \in A \), esso si può scrivere come
\[ r(t) = a_8 t^8 + \ldots + a_1 t + a_0 \]

c) Avrei una domandina

Io ho fatto così, c'è un modo più rapido? Sia per discutere l'irreducibilità sia per trovare la decomposizione in fattori primi.
Sapendo che \(1\) è radice abbiamo che
\[ t^9+t^8+t^7+t^5+t^4+1 =(t+1)t^8 + (t+1)t^6 + (t+1) t^5 + (t+1)t^3 + (t+1)t^2+ (t+1)t+ t+1 \]
\[f(t) = (t+1)(t^8+t^6+t^5+t^3+t^2+t +1) \]
Effettuiamo la divisione "classica" polinomiale tra \( (t^8+t^6+t^5+t^3+t^2+t +1) \) e \( t^4+t^2+1 \) tenendo conto che i coefficienti vivono in \( \mathbb{F}_2 \) e otteniamo
\[ f(t) = (t+1)(t^4+t^2+1)(t^4+t+1) = (t+1)(t^2+t+1)(t^2+t+1)(t^4+t+1) \]
- Chiaramente \(t+1\) è irriducibile, è di grado 1.
-\(t^2+t+1\) è irriducibile poiché è di grado \(2\) e non possiede radici in \( \mathbb{F}_2\)
- Abbiamo che \(t^4+t+1\) è irriducibile, altrimenti avremmo dei polinomi irriducibili che dividono \(t^4+t+1\), di grado inferiore. Questi polinomi non possono essere di grado \(2\) poiché l'unico polinomio di grado \(2\) irriducibile in \( \mathbb{F}_2[t] \) è \(t^2+t+1\) poiché è l'unico che non possiede radici. Infatti abbiamo \(2^2 \) possibili polinomi di grado \(2\). Di questi, 3 hanno radici che sono
\[ t^2 + 1 = (t+1)(t+1)\]
\[t^2+t = t(t+1)\]
\[t^2 = t \cdot t \]
Dunque nella decomposizione di \(t^4+t+1\) vi è almeno un polinomio di grado 1. Ma in realtà ne abbiamo 4, poiché \(t^4+t+1\) non è divisibile per \(t^2+t+1\). Dunque
\[ (t^4+t+1) = (t+a)(t+b)(t+c)(t+d) \]
Ma siccome \( abcd=1\) abbiamo che \(a=b=c=d=1\) e pertanto \( (t^4+t+1)=(t+1)^4=t^4+1\) il che è assurdo, dunque non è riducibile ed è irriducibile.

d)

Direi che non è un dominio d'integrità poiché \( (t^4 + t +1) \neq 0 \) e \( (t+1)(t^4+t^2+1) \neq 0 \) ma \( (t^4+t+1)(t+1)(t^4+t^2+1) = 0\).

e) Domanda

\( A = \mathbb{F}_2[t]/(f) \). Ora l'ideale di \( (f)\) è ottenibile tramite questi 3 ideali \((f)=(t^4+t+1)(t+1)(t^4+t^2+1) \)
Dunque per i resti cinesi abbiamo che
\[ A \cong \mathbb{F}_2[t]/(t+1) \times \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t^2+1) \times \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t+1) \]
Ora siccome \( 2^4 = 16 = 4^2 \) e \(t^4+t+1\) è un polinomio irriducibile di \(\mathbb{F}_2[t]\) allora \(t^4+t+1\) divide \(t^{2^4} - t \), poiché \( 4 \mid 4 \). Allora \( \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t+1) \subset \mathbb{F}_{16} \) che è un campo a 16 elementi, inoltre la cardinalità di \( \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t+1) \) è proprio 16, poiché tutti i polinomi in \( \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t+1) \) sono di grado inferiore a 4, dunque vi sono \(2^4=16 \) elementi pertanto coincidono.
Allora
\[ A \cong \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_{16} \times \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t^2+1) \]
E dunque
\[ A^{\times} \cong \mathbb{F}_2^{\times} \times \mathbb{F}_{16}^{\times} \times \left( \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t^2+1) \right)^{\times} \]

Da qui non so bene come contare gli elementi invertibili di \( \left( \mathbb{F}_2[t]/(t^4+t^2+1) \right)^{\times} \).
-Perché so che gli invertibili di \( \mathbb{F}_2 \) è solo l' 1.
- Gli invertibili di \( \mathbb{F}_{16} \) sono \(15\).
Sapendo gli invertibili dell'ultimo mi basta moltiplicare \(1\cdot 15 \cdot ?? = \) numero di invertibili in \(A\).

[hydro1]

La a) è molto confusionaria: intanto \(\mathbb F_2[t]/(t^4-t)\) non è un campo, e tantomeno è isomorfo a $\mathbb F_4$. Poi la risposta è semplice: la derivata di $f$ è $t^8+t^6+t^4=t^4(t^2+t+1)^2$, quindi l'unica radice doppia di $f$ può essere una radice $\alpha$ di $t^2+t+1$. Ora dividi $f$ per $(t^2+t+1)^2$ e trovi resto 0, quindi $\alpha$ è una radice doppia in \(\mathbb F_4\cong \mathbb F_2[t]/(t^2+t+1)\).

Nella e) per sapere cos'è invertibile in \(\mathbb F_2[t]/(t^4+t^2+1)\) devi chiederti: per un polinomio $g$ in $\mathbb F_2[t]$ che significa essere invertibile in quel quoziente? Per definizione significa che esistono $h,k\in\mathbb F_2[t]$ tale che $gh=1+(t^4+t+1)k$. Per Bezout questo succede se e solo se $g$ è coprimo con $t^4+t+1$. Ergo, gli invertibili sono i polinomi di grado $\le 3$ coprimi con $t^4+t+1$. Non ti resta che contarli.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"hydro":La a) è molto confusionaria: intanto \(\mathbb F_2[t]/(t^4-t)\) non è un campo, e tantomeno è isomorfo a $\mathbb F_4$. Poi la risposta è semplice: la derivata di $f$ è $t^8+t^6+t^4=t^4(t^2+t+1)^2$, quindi l'unica radice doppia di $f$ può essere una radice $\alpha$ di $t^2+t+1$. Ora dividi $f$ per $(t^2+t+1)^2$ e trovi resto 0, quindi $\alpha$ è una radice doppia in \(\mathbb F_4\cong \mathbb F_2[t]/(t^2+t+1)\).

Hai ragione il campo è questo \( \mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1) \). In generale se un polinomio \(f\) è irriducibile e vive in \( \mathbb{F}_p[t] \) ed è di grado \( n\) allora \( \mathbb{F}_p[t]/(f) \cong \mathbb{F}_{p^n} \). Quel polinomio non è irriducibile.

"hydro":
Nella e) per sapere cos'è invertibile in \(\mathbb F_2[t]/(t^4+t^2+1)\) devi chiederti: per un polinomio $g$ in $\mathbb F_2[t]$ che significa essere invertibile in quel quoziente? Per definizione significa che esistono $h,k\in\mathbb F_2[t]$ tale che $gh=1+(t^4+t+1)k$. Per Bezout questo succede se e solo se $g$ è coprimo con $t^4+t+1$. Ergo, gli invertibili sono i polinomi di grado $\le 3$ coprimi con $t^4+t+1$. Non ti resta che contarli.

Quindi gli inversibili sono \(2^4=16\). Ma scusa vuol dire che tutti i polinomi in \(\mathbb F_2[t]/(t^4+t^2+1)\) sono inversibili, quindi è un campo?



Edit: errore scemo, niente apposto
Abbiamo 3 polinomi che hanno nella decomposizione in fattori irriducibili \( (t^2+t+1) \) che sono appunto \(t^2+t+1\), e \( t(t^2+t+1) \) e \( (t+1)(t^2+t+1)\) pertanto siccome lo zero non è mai inversibile abbiamo in totale \(16-4=12\) inversibili.

[hydro1]

Sì ovviamente è un typo, intendevo $t^4+t^2+1$ e non $t^4+t+1$.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"hydro":Sì ovviamente è un typo, intendevo $t^4+t^2+1$ e non $t^4+t+1$.

Si lo so, io intendevo il mio \(t^4-t\)