Campo e sottoanelli di anello.
Determinare se \( B= \{ 0,2,4,\ldots, 10 \} \) è un sottoanello, ideale destro, ideale sinistro e/o ideale bilatero di \( \mathbb{F}_{11} \).
Io direi che non è un sottoanello poiché \( (B,+) \) non è un sottogruppo poiché l'inverso additivo di ciascun elemento di \(B \) non è dentro \( B \). Siccome l'inverso di \( 10 \) ad esempio è \(1 \) che non è dentro \(B\).
Mentre direi che non è un ideale ne destro ne sinistro e dunque nemmeno bilatero poiché ad esempio \( 6 \cdot 2= 2 \cdot 6 = 1 \not\in B \).
Però le soluzioni mi dicono che \( B \) non è nulla perché \( \mathbb{F}_{11} \) è un campo e onestamente non capisco il motivo per cui se \( \mathbb{F}_{11} \) è un campo allora necessariamente \(B \) non è niente.
Io direi che non è un sottoanello poiché \( (B,+) \) non è un sottogruppo poiché l'inverso additivo di ciascun elemento di \(B \) non è dentro \( B \). Siccome l'inverso di \( 10 \) ad esempio è \(1 \) che non è dentro \(B\).
Mentre direi che non è un ideale ne destro ne sinistro e dunque nemmeno bilatero poiché ad esempio \( 6 \cdot 2= 2 \cdot 6 = 1 \not\in B \).
Però le soluzioni mi dicono che \( B \) non è nulla perché \( \mathbb{F}_{11} \) è un campo e onestamente non capisco il motivo per cui se \( \mathbb{F}_{11} \) è un campo allora necessariamente \(B \) non è niente.
Risposte
$B$ non contiene 1, non è un sottoanello. Se $F$ è un campo e $J$ un suo ideale, $J$ può essere solo (0) o $F$.
"solaàl":
$B$ non contiene 1, non è un sottoanello. Se $F$ è un campo e $J$ un suo ideale, $J$ può essere solo (0) o $F$.
Appunto, non basta dire che siccome \(F \) è un campo allora \(B \) non possiede nessuna delle proprietà di essere sottoanello/ideali sx,dx, bilatero.
Dovrebbe aggiungere che \(B \) non contiene 1 e \(B \) è diverso da \( \mathbb{F}_{11} \) e da \( \{0\} \).
Beh, ciascuna di queste cose è evidente... Non contiene 1 ed è un sottoinsieme non banale per definizione.
"solaàl":
Beh, ciascuna di queste cose è evidente... Non contiene 1 ed è un sottoinsieme non banale per definizione.
Sono d'accordo che è evidente, ma mi hanno tratto in inganno perché le soluzioni dicono (cito testualmente)
"Nessuna delle proprietà è soddisfatte perché \( \mathbb{F}_{11} \) è un campo."
La prima cosa che ho pensato è: dati \( B \subseteq A \), se \( A \) è campo è condizione sufficiente per far si che \( B \) non è ne un sottoanello, ne un ideale bilatero ne un ideale sinistro ne destro.
La seconda cosa che ho pensato è: la prima cosa che ho pensato è sbagliata e quindi ho frainteso le soluzioni oppure le soluzioni sono sbagliate.
E volevo chiarire se le soluzioni erano scritte male (tralasciato cose a cui non ho pensato e dovrebbero essere evidenti) oppure se erano sbagliate.
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