Campo di spezzamento su $QQ$
Buonasera, sto facendo degli esercizi sui campi di spezzamento pero' mi blocco sempre allo stesso punto.
Riporto qui due esempi:
*$x^3-1$ questo si fattorizza in $QQ$ e ottengo $(x-1)(x^2+x+1)$ quindi per trovare il campo di spezzamento considero il quoziente:
$(QQ[x])/(x^2+x+1)$ a questo punto come faccio??
Io ho trovato anche gli zeri di questo polinomio che sono $(-1+-i(3)^(1/2))//2$ e quindi mi viene da pensare che potrebbe essere $QQ[3^(1/2), i]$ ma ovviamente dovrei dimostrare questa cosa e non so come fare
*$x^3-3$ e' irriducibile in $QQ$ quindi considero il quoziente;
$(QQ[x])/(x^3-3)$e questo e' isomorfo a $QQ[3^(1/3)]$
Ottengo ora che il polinomio $x^3-3=(x-3^(1/3))(x^2+3^(1/3)x+3^(2/3))$ e il secondo polinomio e' irriducibile in $QQ[3^(1/3)]$ e ora mi trovo nello stesso caso di prima e ho lo stesso problema di prima
Riporto qui due esempi:
*$x^3-1$ questo si fattorizza in $QQ$ e ottengo $(x-1)(x^2+x+1)$ quindi per trovare il campo di spezzamento considero il quoziente:
$(QQ[x])/(x^2+x+1)$ a questo punto come faccio??
Io ho trovato anche gli zeri di questo polinomio che sono $(-1+-i(3)^(1/2))//2$ e quindi mi viene da pensare che potrebbe essere $QQ[3^(1/2), i]$ ma ovviamente dovrei dimostrare questa cosa e non so come fare
*$x^3-3$ e' irriducibile in $QQ$ quindi considero il quoziente;
$(QQ[x])/(x^3-3)$e questo e' isomorfo a $QQ[3^(1/3)]$
Ottengo ora che il polinomio $x^3-3=(x-3^(1/3))(x^2+3^(1/3)x+3^(2/3))$ e il secondo polinomio e' irriducibile in $QQ[3^(1/3)]$ e ora mi trovo nello stesso caso di prima e ho lo stesso problema di prima
Risposte
Qualcuno ha idee??
$X^2+X+1$ è irriducibile su $QQ$ perché è un polinomio ciclotomico; il campo di spezzamento di $X^3-1$ è ora per definizione il campo dove hai aggiunto le radici dei suoi fattori irriducibili, che sono \(\{1, \gamma_+=\frac{1+\sqrt{-3}}{2},\gamma_-= \frac{1-\sqrt{-3}}{2}\}\); chiaramente $QQ(1, \gamma_+,\gamma_-)=QQ(\gamma_+,\gamma_-)$, e $QQ(\gamma_+,\gamma_-)\subseteq QQ(\sqrt{3},\sqrt{-1})$; a questo punto però è anche vero che $QQ(\gamma_+,\gamma_-) = QQ(\sqrt{-3})$, col che è sufficiente provare che
\[
\mathbb Q(\sqrt{-3}) = \mathbb Q(\sqrt{3},\sqrt{-1}).
\]
Una inclusione è ovvia: $\sqrt{-3}=\sqrt{3}\sqrt{-1}$; ora bisogna dimostrare che esiste soluzione al sistema
\[
\begin{cases}
\sqrt{-1} = \alpha + \beta \sqrt{-3}\\
\sqrt{3} = \gamma + \delta \sqrt{-3}
\end{cases}
\] nota che se risolvi la prima, $\delta =\alpha, \gamma = -3\beta$ è soluzione della seconda; risolvi allora la prima. Eleva al quadrato $\sqrt{-1} = \alpha + \beta \sqrt{-3}$, ti viene $-1 = \alpha^2 -3\beta^2+2\alpha\beta\sqrt{-3}$; risolvi in \(T=\frac{\alpha}{\beta}\).
\[
\mathbb Q(\sqrt{-3}) = \mathbb Q(\sqrt{3},\sqrt{-1}).
\]
Una inclusione è ovvia: $\sqrt{-3}=\sqrt{3}\sqrt{-1}$; ora bisogna dimostrare che esiste soluzione al sistema
\[
\begin{cases}
\sqrt{-1} = \alpha + \beta \sqrt{-3}\\
\sqrt{3} = \gamma + \delta \sqrt{-3}
\end{cases}
\] nota che se risolvi la prima, $\delta =\alpha, \gamma = -3\beta$ è soluzione della seconda; risolvi allora la prima. Eleva al quadrato $\sqrt{-1} = \alpha + \beta \sqrt{-3}$, ti viene $-1 = \alpha^2 -3\beta^2+2\alpha\beta\sqrt{-3}$; risolvi in \(T=\frac{\alpha}{\beta}\).
Ok tutto chiaro, ma ho una domanda. Se avessi avuto un caso in cui i due campi non erano uguali, dimostravo usando la stessa logica che uno non era contenuto nell'altro o come avrei dovuto fare?
In che senso? Non ho capito quali due campi non devono essere uguali.
Mi spiego meglio, con un altro esempio.
Nel caso in cui io ho il seguente polinomio, $x⁴-2$, sempre da studiare su $QQ$, io ho che è irriducibile per Eisenstein e trovo, facendo tutti i passaggi, che il campo di spezzamento dovrebbe essere $Q(2^(1/4),i)$
Ora il mio professore fa una cosa che non mi è proprio chiara per dimostrare che effettivamente il campo di spezzamento è $QQ(2^(1/4),i)$ e che questo non è contenuto in $QQ(2^(1/4))$
Per fare ciò dice di avere due possibilità per il campo di spezzamento, una che implica l'inclusione del primo rispetto al secondo e una che invece non lo implica:
$i\in QQ(a)$ e quindi questo mi implica che $QQ(a)$ è il campo di spezzamento
$i\notin QQ(a)$
Per dimostrare che il primo caso non è possibile prendo l'omomorfismo iniettivo da $QQ(a)->RR$ e faccio vedere che se $i\in QQ(a)$ tramite l'omomorfismo ho un assurdo ma non so come far vedere questa cosa
Nel caso in cui io ho il seguente polinomio, $x⁴-2$, sempre da studiare su $QQ$, io ho che è irriducibile per Eisenstein e trovo, facendo tutti i passaggi, che il campo di spezzamento dovrebbe essere $Q(2^(1/4),i)$
Ora il mio professore fa una cosa che non mi è proprio chiara per dimostrare che effettivamente il campo di spezzamento è $QQ(2^(1/4),i)$ e che questo non è contenuto in $QQ(2^(1/4))$
Per fare ciò dice di avere due possibilità per il campo di spezzamento, una che implica l'inclusione del primo rispetto al secondo e una che invece non lo implica:
$i\in QQ(a)$ e quindi questo mi implica che $QQ(a)$ è il campo di spezzamento
$i\notin QQ(a)$
Per dimostrare che il primo caso non è possibile prendo l'omomorfismo iniettivo da $QQ(a)->RR$ e faccio vedere che se $i\in QQ(a)$ tramite l'omomorfismo ho un assurdo ma non so come far vedere questa cosa
Se \((a+b\sqrt[4]{2})^2 = -1\) per certi $a,b\in QQ$, allora $a^2 + b^2\sqrt{2} = -1$ e $2ab\sqrt{2}=0$, il che mi sembra proprio assurdo.
Come mai hai imposto $a^2+2^(1/2)b^2=-1$ e l'altro zero?
Unicita' della rappresentazione in coordinate di un vettore in uno spazio vettoriale, data una base (in questo caso, \(\{1, \sqrt[4]{2}\}\)).
(e' tanto difficile scrivere \(\sqrt{2}\)?)
(e' tanto difficile scrivere \(\sqrt{2}\)?)
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