Campo di spezzamento in $ ZZ_7[x] $

[18Gigia18]

Si consideri il polinomio $ f(x)=x^6+3 $ in $ ZZ_7[x] $ . Calcolare il campo di spezzamento $ E $ di $ f $ su $ ZZ_7[x] $.
Allora $f$ non ha ridici in $ ZZ_7[x] $ e quindi io ho scritto $ f$ come $ x^6-4 $ da cui $ f=(x^3-2)(x^3+2) $. Ma a questo punto che faccio? Scompongo ancora i fattori?

[perplesso1]

Non mi sembra che si possa scomporre ulteriormente perche se scomponi un polinomio di terzo grado poi dovrebbero venirti uno di secondo e uno di primo, ma questo significherebbe che $f$ ha una radice, cosa che tu hai escluso. Ora se mi ricordo come si fanno questi esercizi ( ne dubito xD ) dovresti trovare le radici di $( x^3 \pm 2 )$, tutte anche quelle complesse e quindi considerare l'estensione di $Z_7$ che ottieni aggiungendo queste radici... e quello è il campo di spezzamento.

[Stickelberger]

In generale, per un primo $p$ e un polinomio irriducibile $f$ in $Z_p[X]$
di grado $d$, il campo di spezzamento di $f$ e' uguale all'unica estensione
di $Z_p$ di grado $d$ (dentro una chiusura algebrica di $Z_p$).

Ora, i cubi non nulli in $Z_7$ sono solo $\pm 1$. Questo implica che i polinomi
$X^3\pm 2$ non hanno zeri in $Z_7$ e sono quindi entrambi irriducibili in $Z_7[X]$.
Il campo di spezzamento di $X^3-2$ e' quindi uguale al campo di spezzamento
di $X^3+2$ ed ha grado $3$ su $Z_7$. Come ha spiegato Perplesso, questo
campo e' anche il campo di spezzamento di $X^6-4$.