Campo di spezzamento di x^6+6x^2+4
Buonasera a tutti,
sono nuovo su questo forum.Mi chiamo Guido e sono al secondo anno della triennale in Matematica.
Cerco aiuto per un esercizio di algebra 2.
E' dato il polinomio f = $ x^6+6x^2+4 in QQ[X]$. Chiamata K l'estensione quadratica $QQ[sqrt(5)]$ e detto L il campo di spezzamento di f su $QQ$, si chiede:
a) Provare che $K sube L$
b)Scomporre f in irriducibli in $QQ[x]$ e in $K[X]$
b)Determinare [L:$QQ$]
La prima parte mi sembra molto semplice: risolvendo in $CC$ l'equazione f=0, trovo radici $+-sqrt(-3+-sqrt(5))$,per cui $L=QQ[sqrt(-3+sqrt(5)),sqrt(-3-sqrt(5))]$. In particolare, $(sqrt(-3+sqrt(5)))^2=-3+sqrt(5) in L$, da cui $sqrt(5) in L$ e $K sube L$
Nel b) ho trovato che f è irriducibile su $QQ$, mentre in $K[X]$ vale $f=(x+(3+sqrt(5)))(x+(3-sqrt(5)))$. Entrambi i fattori sono irriducibili, perché non hanno radici reali, e dunque nemmeno in K che è contenuto in $RR$.
Ora arrivano i problemi: non sono sicuro su come procedere. Se pongo $a=sqrt(-3+sqrt(5))$ e $b=sqrt(-3-sqrt(5))$, $L=QQ[a,b]$, mi sembra di poter dire che $ab=4$, per cui $b=4a^-1$, perciò $L=QQ[a]$ e [L:$QQ$]=deg f = 4. Vi sembra corretto? Vicino all'esercizio c'è questo suggerimento: "Quali elementi di K sono quadrati in un'estensione $K[sqrt(d)]$" Io non ho capito a cosa serva questa annotazione, ma siccome la mia soluzione non ha nulla a che fare con le estensioni quadratiche, temo ci sia un errore nel mio ragionamento. Inoltre, non capisco come si possa procedere in generale, cioè se non c'è (o non si vede) una relazione così buona fra i generatori del campo di spezzamento
sono nuovo su questo forum.Mi chiamo Guido e sono al secondo anno della triennale in Matematica.
Cerco aiuto per un esercizio di algebra 2.
E' dato il polinomio f = $ x^6+6x^2+4 in QQ[X]$. Chiamata K l'estensione quadratica $QQ[sqrt(5)]$ e detto L il campo di spezzamento di f su $QQ$, si chiede:
a) Provare che $K sube L$
b)Scomporre f in irriducibli in $QQ[x]$ e in $K[X]$
b)Determinare [L:$QQ$]
La prima parte mi sembra molto semplice: risolvendo in $CC$ l'equazione f=0, trovo radici $+-sqrt(-3+-sqrt(5))$,per cui $L=QQ[sqrt(-3+sqrt(5)),sqrt(-3-sqrt(5))]$. In particolare, $(sqrt(-3+sqrt(5)))^2=-3+sqrt(5) in L$, da cui $sqrt(5) in L$ e $K sube L$
Nel b) ho trovato che f è irriducibile su $QQ$, mentre in $K[X]$ vale $f=(x+(3+sqrt(5)))(x+(3-sqrt(5)))$. Entrambi i fattori sono irriducibili, perché non hanno radici reali, e dunque nemmeno in K che è contenuto in $RR$.
Ora arrivano i problemi: non sono sicuro su come procedere. Se pongo $a=sqrt(-3+sqrt(5))$ e $b=sqrt(-3-sqrt(5))$, $L=QQ[a,b]$, mi sembra di poter dire che $ab=4$, per cui $b=4a^-1$, perciò $L=QQ[a]$ e [L:$QQ$]=deg f = 4. Vi sembra corretto? Vicino all'esercizio c'è questo suggerimento: "Quali elementi di K sono quadrati in un'estensione $K[sqrt(d)]$" Io non ho capito a cosa serva questa annotazione, ma siccome la mia soluzione non ha nulla a che fare con le estensioni quadratiche, temo ci sia un errore nel mio ragionamento. Inoltre, non capisco come si possa procedere in generale, cioè se non c'è (o non si vede) una relazione così buona fra i generatori del campo di spezzamento
Risposte
Deve essere $f=x^4+6x^2+4$?
Sì, ovviamente hai ragione, ho fatto confusione con gli esponenti. Inoltre $ab=sqrt(4)$, non 4.
E probabilmente la seconda parte b) deve essere c)
e invece di $f=(x+(3+sqrt{5})(x+(3-\sqrt{5}))$ si avra' che
$f=(x^2+(3+sqrt{5})(x^2+(3-\sqrt{5}))$ $\ldots$
E' utile osservare che $3\pm sqrt{5}=2(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2})^2$.
Questo implica che gli zeri di $f=x^4+6x^2+4$ sono $\frac{\pm1\pm\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{-2}$.
Il campo di spezzamento e' quindi $L=QQ(\sqrt{5},\sqrt{-2})$.
Il grado $[L]$ e' $4$.
e invece di $f=(x+(3+sqrt{5})(x+(3-\sqrt{5}))$ si avra' che
$f=(x^2+(3+sqrt{5})(x^2+(3-\sqrt{5}))$ $\ldots$
E' utile osservare che $3\pm sqrt{5}=2(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2})^2$.
Questo implica che gli zeri di $f=x^4+6x^2+4$ sono $\frac{\pm1\pm\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{-2}$.
Il campo di spezzamento e' quindi $L=QQ(\sqrt{5},\sqrt{-2})$.
Il grado $[L]$ e' $4$.
Grazie mille, ho capito come fare. Mi dispiace per tutti gli errori, ma mi devo ancora abituare al formato per scrivere le formule.
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