Campo di spezzamento di $x^5 - 2 x^3 - 2 x^2 + 4 \in \Q[x]$ su $\Q$
Ciao a tutti: un aiuto per favore chi può sull'argomento illustrato nel tittolo. Sono ai miei primi esercizi di Algebra 2 dopo aver studiato la teoria. Grazie. Rodolfo
Risposte
Prima di tutto fattorizza il polinomio in questione.
Ecco: $f = x^5 -2 x^3 - 2 x^2 + 4 = x^3 (x^2 - 2) - 2 (x^2 - 2) = (x^2 - 2) (x^3 - 2) = (x^2 - (\sqrt2)^2) (x^3 - (\root 3 2)^3) = (x + \sqrt2) (x - \sqrt2) (x - \root 3 2) (x^2 + \root 3 2x + (\root 3 2)^2) = (x + \sqrt2) (x - \sqrt2) (x - \root 3 2) (x - \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2) (x - \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2) = (x - (- \sqrt2)) (x - \sqrt2) (x - \root 3 2)(x - \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2) (x - \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)$.
Il sottocampo $\Q(\sqrt2, - \sqrt2, \root 3 2, \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2, \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)$ di $\C$ è dunque di spezzamento di $f$ su $\Q$. Giusto?
Ora il problema chiede anche di determinare il grado su $\Q$ del campo di spezzamento. Un aiuto, grazie...
Rodolfo
Il sottocampo $\Q(\sqrt2, - \sqrt2, \root 3 2, \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2, \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)$ di $\C$ è dunque di spezzamento di $f$ su $\Q$. Giusto?
Ora il problema chiede anche di determinare il grado su $\Q$ del campo di spezzamento. Un aiuto, grazie...
Rodolfo
"Rodolfo Medina":
Il sottocampo $\Q(\sqrt2, - \sqrt2, \root 3 2, \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2, \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)$ di $\C$ è dunque di spezzamento di $f$ su $\Q$. Giusto?
Ora il problema chiede anche di determinare il grado su $\Q$ del campo di spezzamento. Un aiuto, grazie...
Rodolfo
Fin qui ok... per trovare il grado del campo di spezzamento di solito conviene minimizzare il numero di generatori e usare il teorema della torre aggiungendo un generatore alla volta. Nel tuo caso si potrebbe iniziare così:
$QQ(\sqrt2, - \sqrt2, \root 3 2, \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2, \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)=QQ(\sqrt2, \root 3 2, \zeta_3)=QQ(\root 6 2, \zeta_3)$,
dove $\zeta_3$ è una radice cubica dell'unità. Da qui sapresti concludere?
Io arrivo a capire questo:
$ QQ(\sqrt2, - \sqrt2, \root 3 2, \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2, \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)=QQ(\sqrt2, \root 3 2, i \sqrt3)$.
Fin qui ci sono, ma non capisco le tue ultime due uguaglianze, e in particolare come fai ad `accorpare'
$\sqrt2$ e $\root 3 2$ in $\root 6 2$ e che significhi quel $\zeta_3$... Potresti aggiungere dei passaggi intermedi? Grazie
Rodolfo
$ QQ(\sqrt2, - \sqrt2, \root 3 2, \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2, \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)=QQ(\sqrt2, \root 3 2, i \sqrt3)$.
Fin qui ci sono, ma non capisco le tue ultime due uguaglianze, e in particolare come fai ad `accorpare'
$\sqrt2$ e $\root 3 2$ in $\root 6 2$ e che significhi quel $\zeta_3$... Potresti aggiungere dei passaggi intermedi? Grazie
Rodolfo
$\zeta_3$ è semplicemente uno dei due numeri complessi (non reali) il cui cubo è $1$, ad esempio ${i \sqrt3 -1}/2$, che compariva già nella tua soluzione: ho introdotto questa notazione solo per non dover riscrivere ogni volta la frazione..!
Detto questo, il campo da cui partiamo è $QQ(\sqrt2, \root3 2, \root3 2 \zeta_3, \root3 2 \zeta_3^2)$ (sono esattamente i numeri che avevi scritto tu, e ho già tolto $-\sqrt2$ perché è chiaramente superflua), e la prima osservazione è che per avere gli ultimi tre numeri è necessario e sufficiente avere $\root3 2$ e $\zeta_3$, ovvero $QQ(\root3 2, \root3 2 \zeta_3, \root3 2 \zeta_3^2)=QQ(\root3 2, \zeta_3)$, quindi possiamo riscrivere il campo di spezzamento come $QQ(\sqrt2, \root3 2, \zeta_3)$.
Osserviamo ora che $QQ(\sqrt2, \root3 2)=QQ(\root6 2)$: infatti da una parte $\sqrt2$ e $\root3 2$ sono potenze di $\root6 2$, e dall'altra $\root6 2={\sqrt2}/{\root3 2}$. Arriviamo quindi a $QQ(\root6 2, \zeta_3)$.
Ovviamente va bene anche così, e anche qui puoi far comparire $\root6 2$: resta solo da calcolare il grado...
Detto questo, il campo da cui partiamo è $QQ(\sqrt2, \root3 2, \root3 2 \zeta_3, \root3 2 \zeta_3^2)$ (sono esattamente i numeri che avevi scritto tu, e ho già tolto $-\sqrt2$ perché è chiaramente superflua), e la prima osservazione è che per avere gli ultimi tre numeri è necessario e sufficiente avere $\root3 2$ e $\zeta_3$, ovvero $QQ(\root3 2, \root3 2 \zeta_3, \root3 2 \zeta_3^2)=QQ(\root3 2, \zeta_3)$, quindi possiamo riscrivere il campo di spezzamento come $QQ(\sqrt2, \root3 2, \zeta_3)$.
Osserviamo ora che $QQ(\sqrt2, \root3 2)=QQ(\root6 2)$: infatti da una parte $\sqrt2$ e $\root3 2$ sono potenze di $\root6 2$, e dall'altra $\root6 2={\sqrt2}/{\root3 2}$. Arriviamo quindi a $QQ(\root6 2, \zeta_3)$.
"Rodolfo Medina":
$ QQ(\sqrt2, - \sqrt2, \root 3 2, \root 3 2(- i \sqrt3 - 1) / 2, \root 3 2(i \sqrt3 - 1) / 2)=QQ(\sqrt2, \root 3 2, i \sqrt3) $.
Ovviamente va bene anche così, e anche qui puoi far comparire $\root6 2$: resta solo da calcolare il grado...
Grazie, mi sei stato di grande aiuto. Ho continuato così: il nostro campo di spezzamento è dunque $F = \Q(\root 6 2, i \sqrt3)$. Per il teorema di moltiplicaz dei gradi, abbiamo $(F : \Q) = (\Q(\root 6 2) (i \sqrt3) : \Q(\root 6 2)) \cdot (\Q(\root 6 2) : \Q)$. Ora, $x^6 - 2$ è il polinomio minimo di $\root 6 2$ su $\Q$ e una $\Q$-base di $Q(\root 6 2)$ è l'insieme $\{1, \root 6 2, (\root 6 2)^2, \ldots, (\root 6 2)^5\}$, mentre $x^2 + 3$ è il polinomio minimo di $i \sqrt3$ su $\Q(\root 6 2)$ e una $\Q(\root 6 2)$-base di $\Q(\root 6 2) (i \sqrt3)$ è l'insieme $\{1, i \sqrt3\}$. Ergo il grado del campo di spezzam è $6 \cdot 2 = 12$, e una $\Q$-base di $F$ è l'insieme dei prodotti degli elem delle due basi, cioè $\{1, \root 6 2, (\root 6 2)^2, \ldots, (\root 6 2)^5, i \sqrt3, i \sqrt3 \cdot \root 6 2, i \sqrt3 \cdot (\root 6 2)^2, \ldots, i \sqrt3 \cdot (\root 6 2)^5\}$. Giusto?
Grazie
Rodolfo
Grazie
Rodolfo
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