Campo di spezzamento di $x^3-3x+1$
Uffa, ho lasciato per qualche settimana le cose che stavo studiando per andare in ferie e al ritorno ho di nuovo difficoltà. Ah, la mia testa...
Ho gentilmente bisogno di una mano con un campo di spezzamento. Precisamente, devo determinare il campo di riducibilità completa di [tex]p(x)=x^{3}-3x+1 \in \mathbb{Q}[x][/tex].
Per prima cosa, osservo che $p(x)$ non ha soluzioni razionali (le quali potrebbero essere soltanto $pm1$ che evidentemente non annullano il polinomio).
Allora, ho detto l'ideale $J=(p(x))$ è massimale e dunque $QQ[x]//J$ è un campo. Non solo, ma - come ci insegna la teoria - in detto campo $p(x)$ ha uno zero (il laterale $x+(p(x))$). Adesso però non so più come andare avanti: ho aggiunto una sola radice a $QQ$ quindi non sono ancora al campo di spezzamento.
Che fare? Avevo anche pensato alla formule di Cardano, ma non le ho mai usate...
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Ho gentilmente bisogno di una mano con un campo di spezzamento. Precisamente, devo determinare il campo di riducibilità completa di [tex]p(x)=x^{3}-3x+1 \in \mathbb{Q}[x][/tex].
Per prima cosa, osservo che $p(x)$ non ha soluzioni razionali (le quali potrebbero essere soltanto $pm1$ che evidentemente non annullano il polinomio).
Allora, ho detto l'ideale $J=(p(x))$ è massimale e dunque $QQ[x]//J$ è un campo. Non solo, ma - come ci insegna la teoria - in detto campo $p(x)$ ha uno zero (il laterale $x+(p(x))$). Adesso però non so più come andare avanti: ho aggiunto una sola radice a $QQ$ quindi non sono ancora al campo di spezzamento.
Che fare? Avevo anche pensato alla formule di Cardano, ma non le ho mai usate...
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
"Martino":La confermo; è tra le referenze del medesimo che ho seguito io!
...Comunque una referenza più seria dovrebbe essere "Basic Algebra 1" di Jacobson (non ne sono sicuro: controllerò - era la referenza principale del corso)...
"Martino":
In realtà il discriminante per come l'hai definito risulta [tex]x_1-x_2[/tex]. Ma è evidente che se scambi l'ordine delle radici ottieni l'opposto: [tex]x_2-x_1=-(x_1-x_2)[/tex]. Quindi il segno del discriminante dipende dall'ordine dato alle radici, non ci si può fare nulla. Diciamo che dato un polinomio di secondo grado [tex]ax^2+bx+c[/tex] possiamo dare un ordine alle radici in modo che il discriminante sia [tex]\sqrt{b^2-4ac}/a[/tex].
Invece quello che non dipende dall'ordinamento delle radici è [tex]\Delta^2 = (b^2-4ac)/a^2[/tex].
Osservo che quello che "discrimina" è il numeratore di questa frazione: l'annullarsi di esso equivale alla presenza di due radici coincidenti. Lo stesso vale per il discriminante di un generico polinomio di grado n.
Ah, mi accorgo ora che di solito quello che si chiama "discriminante" è [tex]\Delta^2[/tex]
Ah, capisco. Sì, diciamo che c'è un po' di ambiguità circa il segno, insomma il discriminante è (ben) definito a meno del segno perchè esso dipende dall'ordine dato alle radici. Ti ringrazio per i chiarimenti.
"Martino":
Un risultato generale è questo: dato un polinomio di terzo grado irriducibile su [tex]\mathbb{Q}[/tex], il suo gruppo di Galois è [tex]A_3[/tex] se il suo discriminante [tex]\Delta^2[/tex] è un quadrato in [tex]\mathbb{Q}[/tex], è [tex]S_3[/tex] altrimenti. Io ho scritto un po' di cose in merito sulle mie note (pagine 170 e seguenti; nello specifico pagine 172 e seguenti), dove faccio anche il quarto grado (tutto ciò è relativo alle note del corso di tdG che ho seguito), se volete dategli un'occhiata. Comunque una referenza più seria dovrebbe essere "Basic Algebra 1" di Jacobson (non ne sono sicuro: controllerò - era la referenza principale del corso).
Ho letto solo ora dalle tue note; mi sono imposto (nella risoluzione di questo esercizio) di non aprire nessun libro, volevo usare solo le mie (scarse) conoscenze. Comunque è molto interessante la classificazione che proponi, diciamo che è un metodo del tutto generale per individuare il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile di terzo grado. Ora lo studio e cerco di capire per bene anche la dimostrazione.
"Martino":
Il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile separabile di grado n è transitivo sugli n zeri (le orbite dell'azione corrispondono ai fattori irriducibili...), quindi nel caso n=3 il gruppo di Galois non può essere [tex]\mathbb{Z}_2[/tex]. Può esserlo se il polinomio è riducibile.
Non ho capito perfettamente quanto affermi qui, ci devo pensare ancora un attimo.
"Martino":Non lo vedo, me lo puoi indicare?[/quote]
[quote="Paolo90"]Secondo me c'è un errore di calcolo o di trascrizione.
Avevo letto male io, scusa. Non mi ero accorto di una tua riduzione. Scusami.
GRAZIE.
"Paolo90":Hai fatto benissimo!
mi sono imposto (nella risoluzione di questo esercizio) di non aprire nessun libro, volevo usare solo le mie (scarse) conoscenze.
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